4415
Matematika feladatok
-
#3975
sunáznám -
gregtom6 #3974 Hiába forgatod a szemed, a postolás előtt kétszer lefrissítettem az oldalt, és nem jött be a kép. -
#3973
-
gregtom6 #3972 http://i.imgur.com/rWj20.jpg -
gregtom6 #3971 Hy all!
Nem tudom, ki mennyire ért Operációkutatáshoz. Kérdésem: maximum feladatnál, és minimum feladatnál ilyenkor ott lenne az optimum hely, amit bejelöltem?
![]()
-
SgtPepper #3970 Ez egy nagyon jó könyv, viszont az emelt érettségihez a könyvnek legfeljebb 1/6-a kell. A többi rész pedig egyetemi tananyag, viszont azt meg nem részletezi annyira, tehát egyetemre nem biztos, hogy elég jó lesz.
Itt egy másik könyv, ami olcsóbb, és lehet, hogy jobb lenne érettségire felkészülés szempontjából (Reimann - Matematika). Igazából egy középiskolai tanárt kéne megkérdezni, mert ő tudja, hogy mit kérnek számon érettségin.
pl.: Ha megkérdezik szóbelin, hogy mi a vektor, lehet, hogy az "iránytíott szakasz" definíció megfelelőbb lenne a "vektortér eleme" helyett, mert ha túl nagy okosságokat mondasz, akkor annak az lesz a vége, hogy nagyon belekérdeznek az adott témakörbe. -
#3969
Nos, ebben éppen nem vok jártas, sorry...
De biztos vannak itt okosok, akik igen... -
EnxTheOne #3968 Most tizedikes.
Ezt a könyvet néztük meg neki, csak gondoltam megkérdezek pár jártasabb embert.
Azt mondta hogy emelt szinten szeretne érettségizni. (Be akarja bizonyitani magának hogy milyen kemény :D)
Olyan kéne ami az alapoktol felkésziti érettésgire, magán tanárokat valamiért utálja. :S -
#3967
Nos, csak azt kellene leírnod, h milyen korosztálynak... - amúgy biztos tudok mondani egyet-kettőt. Az sem ártana, ha a témakör is be lenne határolva (pl.: pénzügyi matek, analízis, statisztika orvosoknak, matek mérnököknek akadémikusi szinten, stb...) -
EnxTheOne #3966 Sziasztok, Unokatesomnak kéne egy matek könyv, de olyan ahol nem csak feladatok vannak, hanem le is van irva hogy hogy kell megoldani, le van vezetve. TUdnátok ajánlani párat? -
#3965
Nos, ezek a típusfeladatok eléggé bejáratottak ZH-kon és vizsgán.
#3959-ben le van írva a módszer, de ezen a linken mindent megtalálsz:
Szélsőérték, feltételes szélsőérték - pdf
Ha nincs ennél bonyolultabb eseted, akkor nem is érdemes leprogramozni sztem. Papíron 10 perc egy ilyen, még annyi se, ha gyakorlod...
És mi köze ezeknek a fizkémhez?????????? -
dopli #3964 Hogy a fenébe ne tudnám megtenni:
Igazából szélsőértékkeresésről van szó. Csak azért mert számunkra a minimumpontoknak van kiemelt szerepe attól még tudni kell minden mást is :)
Szóval ilyesmi feladatok vannak, hogy : Keresse meg a következő felület szélsőértékeit:
f(x,y) = 3x + x^2 + 3y + y^2 + xy
Meg olyan is volt, hogy van mellékfeltétel is:
f(x,y) = 2x +4y , x^2 + y^2 = 1
de ez utóbbi már tök másik módszer. -
#3963
dopli: annyit meg tudnál tenni, hogy ide postolod a minimalizálandó függvényt? Mostmár kezd érdekelni a dolog :)
Előre is köszi! -
#3962
Annyi pontosítás kell ehhez, mielőtt bárki ebbe akarna belekötni, h a "Newton-módszer" klasszikusan egy gyökkereső algoritmus, míg itt a derivált gyökét keressük. DE az elv ugyanaz, mint a Newton-módszernél. -
#3961
Én (mivel se nem informatikus, se nem vegyész nem vagyok - így se nem a programtervezéshez, se nem a kémiai háttérhez nem értek), biztosan úgy csinálnám, h:
1.) Ha megvan a felület (adott amit minimalizálni kell), akkor numerikusan deriválnám a változói szerint
2.) A "klasszikus" gradiens, de talán mégiscsak szimpatikusabb Newton módszerrel a gyök közelébe lépkednék, felhasználva 1.)-ben kapott gradienst, ezután
3.) A legfavágóbb kereső algoritmussal (brute-force: számold ki minden pontban és hol a legkisebb?) a kívánt hibahatárra pontosítanám.
Miért lenne ez jó?
a.) Ez nem egy matek feladat, hanem kémiai: a minimalizálandó egyenletben szereplő mennyiségek hibával terheltek, nem szükséges (túl) nagy pontosság
b.) az előző miatt a brute-force nagyon gyors, csak meg kell neki mondani, hol keresgéljen, erre kell az agyasabb Newton módszer
Ugye az még egy kérdés, mi van, ha több minimumhely van és kell az abszolút minimum is. Erre is vannak biztosan jó módszerek, de ha már van egy favágó brute-force, azzal is át lehet fésülni a síkot, hol vannak "mélyedések" és onnan indítani a Newtont, majd ha már csak összevissza köröz a mélyedésben, újra jöhet a szisztematikus minimumhely keresés.
Leírni könnyebb volt, mint leprogramozni - de sztem az se lenne sokkal több...! -
SgtPepper #3960 Ha jól tudom, akkor az A = B . D . B^(-1) formát spektrál felbontásnak nevezik, és egy nagyon könnyen kezelhető felírás. Meg elméletileg ebből az alakból sokkal gyorsabban fel lehet írni a mátrixot egy másik bázisban.
Mondjuk abban igazad van, hogy így kell szélsőértéket keresni többváltozós függvényeknél, de nem jelenteném ki, hogy a sajátértékes módszerrel nem lehet hatékonyabb eljárást (programot?) készíteni. pl. ha belegondolsz a Hesse-mátrixnál az aldeterminánsok helyett csak a főminorokat kellett nézni, és vizsgálni a pozitív/negatív definitségét, ami meg azt hiszem a sajátértékek előjelének vizsgálata. Ha belegondolsz, nagyon sok változóra egy gép már nagyon nehezen tudná csak kiszámítani a Hesse-mátrixot, és ha valahogy ki tudnánk deríteni a sajátértékeket a mátrix kiszámítása nélkül, akkor jó sok időt megspórolhatnánk.
Amit most írtam azok csakúgy a megmaradt emlékszfoszlányok A2-ről, szóval lehet, hogy nem teljesen igazak, vagy rosszul emlékszem valamire, szóval ha tévedek javítsatok ki. -
#3959
Háát, én nagyon régen tanultam fizikai kémiát, nem valami Gibbs-potenciál (szabadentalpia??? G-vel volt jelölve) megváltozásának a minimumát kell keresgetni?
Azért vagyok ilyen értetlen, mert anno, ha analitikusan adott volt egy többváltozós függvényem (azaz megvolt a felület), annak a lehetséges szélsőértékhelyeit (minimum, maximum vagy nyeregpont) a változók szerinti első deriváltakból kapott egyenletrendszer megoldásai adták, majd a második deriváltakból képzett szimmetrikus mátrix (valami Hesse... :P ) aldeterminánsainak vizsgálatával lehetett eldönteni.
Kétváltozós esetben ujjgyakorlatként tipikus ZH-példa.
Bisztoss van ilyen sajátérték-sajátvektor dolog is, hogy úgy kell, de én ehhez nem értek... ;) -
SgtPepper #3958 A "hajcihő" csak azért van, mert ez így jobban látszik a hasonló mátrixok definíciójából, de szerintem ki lehet hagyni. Az meg hogy milyen sorrendben rakod a sajátértékeket az teljesen mindegy (a kérdést már ott fel lehetett volna tenni, hogy mi alapján választottuk meg a sajátértékeket L1, L2, L3 ... -nak). Mind az n! mátrix hasonló lesz, ezért gyakorlatilag mindegyik diagonizált mátrix lesz.
És az eredmények jók. Mondom, próbáld ki {1,3} helyett {3,1}-gyel és a B^(-1) . A . B képletet. Én beraktam Mathematicába és úgy kijött. -
dopli #3957 ez a módszer a felületek minimumpontjainak megtalálására használatos eljárás egy része, ami elég hasznos a kémiában, hisz köztudomású, hogy a legalacsonyabb energiaállapotok a legstabilabbak.
amúgy még mindig nem akar kijönni... biztos, hogy ez a képlet?
Meg még mindig érdekelne az, hogy minek ez a hajcihő, ha a sajátértékekből meg tudom mondani az egész diagonalizált mátrixomat...
Meg az is rejtély, hogy ha mondjuk 3 vagy több dimenzióban számolok, akkor, hogyan állítom össze a sajátvektorokból álló mátrixomat. Merthogy az attól függően, hogy L1, L2,...,Ln sajátértékhez tartozó sajátvektorral kezdem n! féle különböző mátrixot tudok csinálni. -
#3956
...és akkor már csak azt kellene valakinek elmesélni, hogy mire is jó ez az egész...
:) -
SgtPepper #3955 Ja bocs, hülye voltam. Először ott szúrtam el, hogy az x = 3y egyenlet esetén nem {1,3} hanem {3,1} lesz, másodszor meg ott szúrtam el, hogy először az inverz mátrixszal szorzunk és utána a sajátvektorokkal: B^(-1) . A . B -
dopli #3954 Jó, most már a sajátvektorokat is értem. Sőt azt is, hogy a diagonális mátrix nyilván hasonló az eredeti mátrixhoz, tehát akkor ugyanazok a sajátértékei. És akkor egyszerűen beírogatom a sajátértékeket a főátlóba és kész is vagyok. De akkor minek ez az egész számolás? Akkor elvileg elég kéne, hogy legyen mindig csak a sajátértékeket kiszámolni, és már kész is a diagonalizált mátrixom...
A másik problémám, hogy többször is kiszámoltam, de B . A . B^(-1) az nem egyenlő {{3,0},{0,5}}-vel. Hanem azt kapom, hogy {{6,-24},{8,-22}} -
SgtPepper #3953 A sajátérték-sajátvektor probléma az az, amikor adott egy A mátrix és egy A . x = L * x egyenlet, és ehhez kellene meghatározni a megfelelő x vektort és L skalárt. Az L-et hívjuk sajátértéknek, az x-et pedig sajátvektornak. Természetesen egy mátrixhoz több sajátérték és sajátvektor tartozhat (és általában tartozik is). Na már most ha a sajátérték számítása még érthető, akkor egyszerűen kiszámolod a sajátértékeket, és behelyettesíted egyesével az eredeti A . x = L * x egyenletbe. (Tehát annyiszor ilyen egyenletet kell majd megoldanod, ahány sajátértéked van.) Ez meg már egy sima lineáris egyenletrendszer, amit bárki meg tud oldani.
Egy dologra még oda kell figyelni, hogy ez a megoldandó egyenletrendszer annyi egyenletből fog állni, ahány dimenziós az x vektorod, de sosem lesz mindegyik egyenlet lineárisan független egymástól, azaz valamelyik koordinátát mindig meg lehet válsztani egy tetszőleges számnak. (Más szóval: sajátvektornak sosem egy konkrét vektor fog kijönni, hanem csak a vektor iránya)
Az utolsó számolást meg azért lehet kihagyni, mert az A és D mátrixok hasonlóak, és hasonló mátrixoknak ugyanaz a sajátértékük. Viszont a D mátrix egy diagonális mátrix és a diagonális mátrixok sajátértékeik mindig az átlóban található számok. -
dopli #3952 ühüm, ühüm. addig stimmel, hogy megvannak a sajátértékek. de az nem világos, hogy a sajátvektorokat hogyan találom ki, aztán meg a végén nem értem azt az érvelést, hogy miért hagyható el a számolás. -
SgtPepper #3951 Legyen mondjuk A = {{6,-3},{1,2}}.
Ekkor a karakterisztikus polinom: P(L) = (6 - L)(2 - L) + 3 = L^2 - 8L + 15.
Ebből az következik, hogy a két sajátérték: L1 = 3 és L2 = 5.
A sajátvektor az ugye az az x vektor, amire teljesül az "A . x = L * x" egyenlet.
Tehát az L1 = 3 sajátértékre az jön ki, hogy
6x - 3y = 3x
x + 2y = 3y
amiből következik, hogy x = y, azaz az x1 = {1,1} sajátvektor.
Az L2 = 5 sajátértékre meg az jön ki, hogy
6x - 3y = 5x
x + 2y = 5y
amiből meg az következik, hogy x = 3y azaz x2 = {3,1} szintén sajátvektor.
Mivel B a sajátvektorokból álló mátrix, ezért
B = {{1,3},{1,1}}.
Most úgy kéne kiszámolni a diagonális mátrixot, hogy B . A . B^(-1), de úgyis tudjuk, hogy a végeredmény a sajátértékekből álló mátrix lesz, ezért D = {{3,0},{0,5}}. -
dopli #3950 Szóval akkor azzal kezdem, hogy megnézem, hogy egyik sajátvektor sem összefüggő a többivel, aztán meg kiszámolom D-t. Csak mondjuk így még mindig nem tudom, hogy mit kell csinálni. Valami konkrét példán be tudod mutatni, hogy mégis hogyan találom ki B-t és D-t? -
SgtPepper #3949 Ja és a sajátvektoroknak függetleneknek kell lenniük, különben a mátriy nem diagonizálható. -
SgtPepper #3948 A mátrix diagonalizáció az az, amikor egy négyzetes A mátrixot felírunk úgy, hogy "A = B . D . B^(-1)". Itt D a diagonális mátrix, ami a sajátértékekből áll, B pedig a megfelelő sajátértékekhez tartozó sajátvektorok mátrixa. A "." jel pedig a mátrixszorzás. -
dopli #3947 szeretnék mátrixot diagonalizálni. hogyan kell? mármint hogy a főátlón kívül minden legyen 0. -
polarka #3946 Hátha vkit érdekel...
Térgörbe görbülete κ:=|r''|
Van képlet erre tetszőleges (nem ívhossz szerinti) paraméterezéssel, de arra csak olyan bizonyítást találtam, ami felhasználja, h keresztszorzat lesz a végeredményben. Ezért végül levezettem a fenti defből.
![]()
-
lally #3945 9*4^x -13*6^x + 4*9^x =0 ; -ha "a középső tagot átviszem mért látszik,hogy o??"
9*4^x + 4*9^x = 13*6^x
-azért, mert amennyiben: X= 0; mindkét oldali együtthatója jól láthatóan = 13; 13
4^x = 4^0 = 1. --mert bármely szám Nulladik_Hatványa....
6^x = 6^0 = 1 - " - - " -
9^x = 9^0 = 1 - " - -
polarka #3944 vagyis nincsen olyan h "elvesztettük a 0 gyököt" hanem meg kell nézni azon esetet is és megtalálni, h ott van-e mo. és ha van, mi az. Az veszíti el a gyököt, aki lekávézza a papírját és aztán keresheti újra. 
Legfeljebb olyan van, h azon ágon nem várhatjuk, h megkapjuk a 2^x-3^x=0 -hoz tartozó gyököt. (Hiszen ahhoz az ághoz úgy jutottunk, h feltettük, h az előbbi leírt 1enlet nem teljesül) -
polarka #3943 Ha megvan a kiemelés, akkor mivel a két tag szorzata 0 kell legyen. Ezért vagy az egyik tag kell 0-t adjon vagy a másik, tehát mind2re külön felírhatsz 1-1 egyenletet, amikből megvan a 2db mo.
Vagy másképpen fogalmazva, amikor ismeretlennel osztasz, akkor azt azért teszed, mert feltételezed, h az ismeretlen értéke nem 0 és aszerint jutsz 1 eredményre. Ezután meg kell vizsgálnod, h mi lenne ha amivel leosztottál az 0 volna. Tehát tfh 2^x-3^x=0.
1 bonyolultabb 1enletből csinálsz 2 1szerűbbet. -
lally #3942 Sajna, a "zöld könyvben" sincsenek ezek részletesen kidolgozva, ezért nézzünk rá most egy kisebb példát:
-995. feladat;
3^(2x-2) + 9^x = 90
-szedjük szét a kitevőket,
(3^ 2x / 3^2) + 3^2x = 90
(3^2x / 9) + 3^2x = 90
- legyen most: 3^2x =a
(a / 9) + a = 90 ; amiből
a =81
- visszaírva tehát:
81 = 3^2x ; de, tudjuk azt, hogy 81=3^4
3^4 = 3^2x ; így az alap mindkét oldalon azonos, tehát
4 = 2x
x = 2
Bízom benne, hogy most még érthető is voltam !
-
Peti95 #3941 Nem értem,hogy attól még,hogy a középső tagot átviszem mért látszik,hogy o?? Szorzattá alakítottam,utána pedig le tudtam osztani mindkét oldalt (2^x-3^x)-nel. Így megkaptuk a 2-t eredményként,viszont ismeretlennel való osztásnál, valószínüleg elvesztettük a 0 gyököt. -
lally #3940 Vigyázz; Mer`Az, azér` még túl kevés, hogy ( esetleg) "véletlenül" ráhibázol egy Jó eredményre! -
-hisz az
Exponenciális egyenletek zöme "NemCsak a", Bioszi_Fiz-Kémiában fordul elő,
legfőképp; Egész_számokkal ! -
lally #3939 A csuda tudja ! (-?)
-de ( így fejben!); abban az X2 =2 -ben, én, azér`még egy pöttyet: kételkednék. -
lally #3938 -ez, egy "piti-Exponenciális" egyenlet, amelynél messziről is látszik, hogy:
a középső (, a negativ cuccost), "jobbra rakva", az egyik megoldása éppen
x1=0 adódik, Kapásból. -lásd: Bármely_szám Nulladik hatványa = 1 . -
polarka #3937 van még1 mo is
ha elég sokat ülsz fölötte, akkor feltűnhet, h 1részt gyanúsak ezek a hatványok, mert az alapok prímtényezői 2 és 3
másrészt az 1ütt6ók 4+9=13
3madrészt meg ha nullával kéne egyenlő legyen, akkor célszerű volna kiemelést csinálni egy különbséggel, az így keletkező két tényező vizsgálatából már meg is vannak a mok
SPOILER! Kattints ide a szöveg elolvasásához!emelj ki (2^x-3^x) -t -
Peti95 #3936 Nem tudja senki?
Annyit már tudok, hogy 2 a vége.
