A másik dolog, a 4-ik irány körüli forgatás. Azért írom le, hogy legyen világosabb.
Vegyük egyszerübben és nézzük meg 3D-ben. A z tengelyre merőlegesen ha veszünk egy vektort, ami jelentene a 3D merev test egyik pontját, akkor az a pont forgatáskor egy körmozgást fog végezni az adott síkban. Itt az altér egy síkban levő terület lenne, adott z pontban.
4D-ben (x,y,z,t koordináta rendszert választva) is hasonló a helyzet, de ott az a merőleges vektor már nem körzmozgást végezhet, hanem egy gömb felületén járhat (mintha utazgatni akarnál a Földön különböző országokban), tehát úgy is lehetne elképzelni, mintha a kezedbe vennéd azt a 4D merev testetnek adott t pontban levő altérbeli alakját (itt egykonkrét 4-ik irányban, t-ben felvett ponban levő 3D altérről lenne szó) és ezt a kezedbe forhatod össze vissza (amint még írtam itt két forgatási irány lesz). Tehát itt már nem lehet konkrét forgatásról beszélni (csak akkor lehet, ha a két forgatási írányból az egyiket lerögzited és akkor már körmozgást kapsz). (szabiku #627 már utalt erre)
Pl. egy 4D gömb esetében, aminek az egyenlete x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = R^2, innen az x^2 + y^2 + z^2 = R^2 - t^2, az x^2 + y^2 + z^2 egy 3D-s gömb lenne, aminek a súgara váltózik R^2 - t^2 szerint. Ha t = -R, akkor egy pont lesz, ha t = 0, akkor pont egy R sugarú gömb és ha t = +r < R, akkor x^2 + y^2 + z^2 = R^2 - r^2 sugarú gömb és ha t = R, akkor megint egy pont lesz x^2 + y^2 + z^2= 0
3D-ben hasonlóképpen mint a fent leírtakban, csak ott x^2 + y^2 = R^2 - z^2 sugarú kör lenne.

I*(R*sinωt + (ω*L - 1/(ω*C))*cosωt) = I*Z*(sinωt*cosφ + cosωt*sinφ), I-vel egyszerűsítve kapjuk hogy
R*sinωt + (ω*L - 1/(ω*C))*cosωt = Z*(sinωt*cosφ + cosωt*sinφ) ez az egyenlőség csak akkor lehet igaz minden t időre, ha mindkét oldalon a sinωt tag szorzói egyenlőek R = Z*cosφ, hasonlóan mindkét oldalon a cosωt tag szorzói is egyenlőek ω*L - 1/(ω*C) = Z*sinφ, tehát
Z*cosφ = R
Z*sinφ = ω*L - 1/(ω*C) egyenletrendszert kapjuk.

Ha mindkét egyenletet négyzetre emeljük, akkor kapjuk

Z^2*(cosφ)^2 = R^2
Z^2*(sinφ)^2 = (ω*L - 1/(ω*C))^2, ha ezt a két egyenletet összeadjuk. akkor kapjuk

Z^2*((cosφ)^2 + (sinφ)^2) = R^2 + (ω*L - 1/(ω*C))^2, tudjuk matematikából, hogy minden φ-re a (cosφ)^2 + (sinφ)^2 = 1, ekkor a

Z^2 = R^2 + (ω*L - 1/(ω*C))^2

Hogy a φ megkapjuk, akkor csakis ebből az egyenletrendszerből indulunk ki:

Z*cosφ = R
Z*sinφ = ω*L - 1/(ω*C), tehát egyszerűen elosztjuk a kettőt egymással így:
Z*cosφ/Z*sinφ = R/(ω*L - 1/(ω*C)), látható, hogy a Z egyszerűsödik és kapjuk, hogy

ctgφ = R/(ω*L - 1/(ω*C)), innen a tgφ = (ω*L - 1/(ω*C))/R (matematikából ismerjük, hogy ctgφ = 1/tgφ)

Az uR az nem u*R, hanem a feszültség az ellenálláson, uL, az nem u*L, hanem a feszültség a tekercsen és az uC nem u*C, hanem a feszültség a kondenzátoron, ezeket így jelöltem hogy lehessen megkülönböztetni.
u = I*Z*sin(ωt +φ) mert valamilyen fázisba el lesz tolódva az áramhoz képest
uR +uL +uC = I*R*sinωt + ω*L*I*cosωt - I*cosωt/ωC = I*(R*sinωt + (ω*L - 1/(ω*C))*cosωt) = u = I*Z*sin(ωt +φ) = I*Z*(sinωt*cosφ + cosωt*sinφ), innen Z*cosφ = R és Z*sinφ = ω*L - 1/(ω*C). Az egyenletet megoldva kapjuk hogy Z^2 = R^2 + (ω*L - 1/(ω*C))^2 és tgφ = (ω*L - 1/(ω*C))/R.

Kicsit tisztázzuk az elektromosságot. A B mágneses indukció vektornak van egy feltétele: kell egy zárt áramjárta vezető és a B-t a Biot-Savart képlettel számolunk ki. Egy áramjárta vezetőben a pozitív töltések állnak és a negatív töltések mozognak, de úgy, hogy az áramjárta vezető töltésileg semleges. Mikor egy külső töltés egy adott sebességgel mozog ehhez az áramjárta vezetőhöz képest, akkor egy erő jelenik meg F = vxB vektori szorzat alapján, ezt az F erőt relativitás elmélettel is ki lehet számolni. Ha nem áramjárta vezetőről van szó, akkor teljesen másképpen alakul a képlet, mert akkor csak Coulomb erő jelenik meg, persze relativisztikus számítással.

RLC soros áramkörben (ω szögsebességű váltóáram esetében): i = I*sinωt, ekkor a feszültség az R-en uR = I*R*sinωt, a tekercsen uL = ω*L*cosωt és a kondenzátoron uC = -(I*cosωt)/ωC. u = uR +uL+uC = I*Z*sin(ωt + φ), ahol tgφ = (ω*L - 1/ω*C)/R. Most nem részletezem a számolást de a végén a Z = sqrt(R^2 + ...) jól ismer képlet.

"1. Ellentmondásban vagy, mert egyrészt azt állítod, hogy "komplex függvény mert könnyebb számolni vele", másrészt azt állítod, hogy "csak valós függvénnyel számolunk “; tehát azt állítod, hogy számolunk is vele meg nem is, ez ellentmondás. Én tudom, hogy Te ezt nem így gondolod, de ezt mondtad, és ne lovagoljunk a szövegkörnyezeten. "
Nem érted.
Tehát arról van szó, hogy sok esetben a komplex függvénnyel praktikusabb számolni, de miko egy végeredmény kell kiszámolni, akkor az adott komplex függvénnt meg kell szorozni a komplex konjugáltjával, ha kell utána négyzetgyököt is vonunk belőle.
Adok egy konkrét példát, hogy legyen világos.
Az elektromosságban az ilyen RLC vátóáramú áramkörökben az R vesszük a függvény valós részének, és a tekercs meg a kondenzátor ellenállásait (omega*L, vagy 1/(omega*C)) a függvény képzetes részének. Ha több ilyen alkatrészünk van, akkor a valós részeket külön adjuk össze és a komplex részeket külön, de a legvégén mikor ki kell számolni az impedanciát, akkor a végső komplex függvényt meg kell szorozni a komplex konjugáltjával és még gyököt is kell vonni belőle.
Konkrét példa: RLC soros váltóáramú (omega szögsebességű) áramkör. A függvény ekkor ez lenne f(R,L,C) = R + (omega*L - 1/(omega*c))*i. A Z = sqrt (f*f'), ahol f` = f komplex konjugáltja. Ekkor Z = sqrt(R^2 + (omega*L - 1/(omega*C))^2) egyik jól ismert képlet.

"2. Én jóhiszeműen feltételezem, hogy azt akartad mondani, hogy komplex függvényeket használunk, de csak a valós eredményeket vesszük figyelembe. No most ez azért van, mert a világot valósnak feltételezzük; pontosabban mindaddig, amíg valósnak feltételezzük. "
A fenti példa mutatja, hogy nem jól értetted, amit mondtam. Tehát a fizikában csak valós függvényekkel számolunk ki valamit a végén, aztán hogy felhasználunk komplex függvényeket, az más dolog, de a végeredmény kiszámításában csak valós függvénnyel dolgozunk. Másik példa lenne a kvantummechanikában a hullámfüggvényekkel való számolások. A végén az integrál csak valós függvénnyel történik.
Én nem mondtam semmi ellentmondást magammal.
"Te úgy gondolod, hogy a fizika térhez nem lehet komplex irányt csatolni, mert te a fentiek szerint gondolkodol.
De a matematikai 3D térhez igenis lehet még 1 db komplex számegyenest csatolni: egyszerűen húzok még egy egyenest hozzá és felvonultatom rajta a komplex számokat. "
Matematikailag lehet, de fizikailag nem!
"A 4D golyónak a 3D terünkkel alkotott metszete egy 3D részgolyó, ennek a külsején felveszünk színes pontokat. És immár ezt a 4D/3D pöttyös részgolyót úgy forgatjuk, hogy a mi 3D terünkben állni látszik a pontja, miközben a 4D irányából nézve a 4D golyó forog. Ekkor ez a forgástengely éppen merőleges a mi 3D terünkre. Tehát a forgásom egy 4D merev testet axiomatizál, ami egyszerre csak egy féle képen mozoghat, mert merev test; nem cselezheti ki önmagát."
4D nem így van ahogy írtad, nem lehet hasonlítani a helyzetet a 3D esetre. Amint még mondtam 3D esetében csak egy lehetséges irány van, de 4D esetében már kettő, 5D-ben viszont 3.

"A 4D golyót úgy képzelheted el a legkönnyebben, hogy egy 4D hiperkocka köré rajzolod a 4D golyót. Itt van egy ilyen hiperkocka, e köré képzeld a 4D golyót. Ezt a hiperkockát meg lehet úgy forgatni, hogy a 3D-ből állni látszik, miközben a 4D-ből forogni látszik, amikor is éppen egy irányt vesz fel, ami merőleges a 3D-re."
Egy 4D golyó vagy inkább írjuk hogy gömb, 3D vetülete egy 3D gömb vagy egy pont is lehet, attól függ, hogy melyik 3D térre vetítjük le. Ennek a vetület gömbnek a sugara úgy váltózik, amilyen távolságra helyezkedik el a 3D tér. Ha nem gömbről van szó, akkor a vetületek alakja, nagysága sokmindentől függ.