I*(R*sinωt + (ω*L - 1/(ω*C))*cosωt) = I*Z*(sinωt*cosφ + cosωt*sinφ), I-vel egyszerűsítve kapjuk hogy
R*sinωt + (ω*L - 1/(ω*C))*cosωt = Z*(sinωt*cosφ + cosωt*sinφ) ez az egyenlőség csak akkor lehet igaz minden t időre, ha mindkét oldalon a sinωt tag szorzói egyenlőek R = Z*cosφ, hasonlóan mindkét oldalon a cosωt tag szorzói is egyenlőek ω*L - 1/(ω*C) = Z*sinφ, tehát
Z*cosφ = R
Z*sinφ = ω*L - 1/(ω*C) egyenletrendszert kapjuk.

Ha mindkét egyenletet négyzetre emeljük, akkor kapjuk

Z^2*(cosφ)^2 = R^2
Z^2*(sinφ)^2 = (ω*L - 1/(ω*C))^2, ha ezt a két egyenletet összeadjuk. akkor kapjuk

Z^2*((cosφ)^2 + (sinφ)^2) = R^2 + (ω*L - 1/(ω*C))^2, tudjuk matematikából, hogy minden φ-re a (cosφ)^2 + (sinφ)^2 = 1, ekkor a

Z^2 = R^2 + (ω*L - 1/(ω*C))^2

Hogy a φ megkapjuk, akkor csakis ebből az egyenletrendszerből indulunk ki:

Z*cosφ = R
Z*sinφ = ω*L - 1/(ω*C), tehát egyszerűen elosztjuk a kettőt egymással így:
Z*cosφ/Z*sinφ = R/(ω*L - 1/(ω*C)), látható, hogy a Z egyszerűsödik és kapjuk, hogy

ctgφ = R/(ω*L - 1/(ω*C)), innen a tgφ = (ω*L - 1/(ω*C))/R (matematikából ismerjük, hogy ctgφ = 1/tgφ)