Hunter
Logika: A három istentől a földönkívüliekig
Ha szükség lenne valamire, amivel visszarázzuk az agyunkat az ünnepek utáni hétköznapokba, akkor próbáljunk meg elgondolkozni az alábbi fejtörőn.
"Három isten, nevezzük őket A-nak, B-nek és C-nek, valamilyen sorrendben az igazságot, a hazugságot és a véletlenszerűséget testesítik meg. Az Igaz mindig igazat szól, a Hazug mindig hamisat, míg a Véletlen teljesen véletlenszerűen alkalmazza az igaz és a hamis válaszokat. A feladat az istenek beazonosítása három kérdés segítségével, úgy hogy egy kérdés csak egy istenhez szólhat. Az istenek értik a nyelvünket, azonban saját nyelvükön válaszolnak igennel és nemmel, amik valamilyen sorrendben a "ja" és a "da" szavaknak felelnek meg. Találjátok ki, melyik szó mit jelent"
Ez a "Hardest Logic Puzzle Ever", vagyis minden idők legnehezebb logikai feladványa, ami a megfejtéssel együtt egy amerikai filozófus és logikatanár, George Boolos nevéhez fűződik. Boolos a következő iránymutatással szolgál a feladvánnyal kapcsolatban: Egy istennek több kérdést is feltehetünk. Hogy mi a második (és harmadik) kérdés, és azt melyik istennek tesszük fel, az előző kérdéstől függhet. A Véletlen egy érme feldobásával dönti el, hogy igazat mond-e vagy sem, ha fej, akkor igazat mond, ha írás, akkor hazudik.
Boolos feladványa nem merül ki az isteneket leleplező három kérdés megtalálásában. A fejtörőt időről időre tovább nehezítik a logikával foglalkozó tudósok, mondván az újabb és újabb megoldások mindig egy kicsit közelebb visznek minket az igazság kinyerésének a módszeréhez egy olyan világban, ami bővelkedik a tökéletlen információkban, és talán a logika természetéről is új ismeretekkel gazdagodhatunk.
Boolos a Hardest Logic Puzzle Ever megalkotásához Raymond Smullyan amerikai matematikus fejtörőit használta alapul. Ezekben a feladványokban egy olyan szigetre tévedünk, ahol a lovagok mindig igazat mondanak, szolgáik azonban mindig hazudnak, és ebből a kettősségből általában egy kérdéssel kell kicsikarni valamilyen információt. Boolos egy feladványba gyúrta a sok buktatót, hogy egy pokolian összetett kérdés sorozattal lehessen eljutni a megoldáshoz. "A hazugok és az igazmondók, a nyelv figyelmen kívül hagyása és végül a véletlenszerűség kombinációja teszi rendkívül nehézzé" - mondta Brian Rabern, az Illinois Egyetem filozófusa.
Boolos válaszának reprodukálásával, amit nem sokkal 1996-os halála előtt közzé tett a Harward Review of Philosophy szaklapban, elrontanánk a fejtörés örömét, azonban akiknek szükségük van egy kis segítségre, íme az első kérdés, amit az A istenhez intézett: "A 'da' igent jelent akkor és csakis akkor, ha te vagy az Igazság, és akkor és csakis akkor, ha a B isten a Véletlen?"
Boolost komoly szándékok vezérelték a feladvány megalkotásában. Megoldása az Arisztotelésznek tulajdonított három klasszikus logikai alaptétel egyikének, a kizárt harmadik elvének átfogó alkalmazásán áll vagy bukik. A kizárt harmadik elve azt állítja, hogy az ellentmondás két tagja között nem állhat fenn semmi közbeeső, hanem mindenről mindent vagy állítani, vagy tagadni kell, tehát egy kijelentő mondat vagy igaz, vagy hamis, nincs harmadik lehetőség.
Kérdéses azonban hogy a kizárt harmadik elve maga igaznak mondható-e? Vegyük a következő kijelentést: "Amerika jelenlegi királya szakállas". Hamisnak minősíthetjük ezt azon prózai okból, miszerint Amerikának nincs királya, vagy valahol az igazság és a hazugság szürke határmezsgyéjén mozog ez az állítás? A Hardest Puzzle megoldásával Boolos azt akarta bizonyítani, hogy mennyire nehézzé válik a logikai problémák megoldása, ha valaki kap egy ilyen középutat.
Megoldása azonban nem mindenkinek tetszett. Ahogy Tim Roberts, ausztrál filozófus szarkasztikusan megjegyezte, zavaró az "akkor és csakis akkor", hiszen pontosan ez veszi el a legtöbb laikus kedvét a logikus érveléstől. Miután Roberts 2001-ben elkészítette saját, az "akkor és csakis akkor" állításokat nélkülöző megoldását, megállapította, hogy a "legnehezebb feladvány" nem is volt olyan nehéz, és két bonyolultabb alternatívát vázolt fel: legyen két Véletlen isten és a harmadik Igaz vagy Hamis, vagy egy Véletlen és a másik kettő meghatározatlanul Igaz vagy Hamis.
2008-ban Brian Rabern és testvére Landon egy jóval alapvetőbb hibát fedeztek fel Boolos eredeti feladványában, ami abban rejlik, ahogy a Véletlen megalkotja a válaszait. Ahogy azt korábban említettük Boolos ezt egy érme feldobásában határozta meg, vagyis ha fej, akkor igazat mond, ha írás, akkor hazudik. A Rabern testvérek szerint ebben az esetben csupán annyit kell kérdezni: "Erre a kérdésre hazugsággal fogsz válaszolni?" Az Igaz és a Hamis erre csak a "nemnek" megfelelő szóval válaszolhat, ugyanakkor, ha a Véletlen érméje eközben fejet mutat, akkor igazat kell mondania és szintén nemmel válaszol. Írás esetén hazudnia kell, ismét negatív választ adva, így egyértelműen megtudjuk, hogy hangzik a "nem" az istenek nyelvén.
Innentől meglepően egyszerű a megoldás, ez azonban még nem minden. Önmagukra utaló kérdésekkel elvileg teljesen megzavarhatjuk az Igazat és a Hamist. Például kezdjük úgy a kérdést: "A válasz 'ja' lesz arra a kérdésre, miszerint…?" Amennyiben a "ja" azt jelenti, hogy "nem" akkor az Igaz nem mondhat igazat, ha viszont "igent" jelent, akkor a Hamis nem hazudhat, vagyis valamelyikük képtelen lesz válaszolni. "Ezeket nevezzük ’felrobbanó fej’ kérdéseknek" - mondta Brian Rabern.
Az ilyen eldöntetlen állítások az elővigyázatlan programozók legnagyobb ellenségei, mivel olyan programok születhetnek, amiket megbénít a döntésképtelenség. A Rabern testvérek azonban bemutatták, hogyan használhatjuk ezeket a kérdéseket az Igaz és a Hamis gyors leleplezésére, mindössze két kérdéssel oldva meg a feladványt, sőt ha még a Véletlen viselkedését meg is változtatjuk úgy, hogy valóban véletlenszerű válaszokat adjon, akkor is megoldható a fejtörő három lépésben.
A folyamat elindult, újabb és újabb módozatok láttak napvilágot. Bár a felrobbanó fej kérdések érvényessége kérdéses maradt, 2010-ben Gabriel Uzquiano, az Oxford Egyetem filozófusa még összetettebb logikai szerkezetekbe ágyazta a feladványt, hogy bebizonyítsa, a ténylegesen véletlenszerű változat is megoldható két kérdéssel, majd előállt egy még nehezebb változattal, melyben a Véletlen akár azt is megteheti, hogy véletlenszerűen semmit nem mond. Gyorsan érkezett a válasz, még ugyanabban az évben Gregory Wheeler és kollégája, Pedro Barahona az amerikai Carnegie Mellon Egyetem részéről három kérdéssel megoldotta Uzquiano feladványát, egyben felvetve egy újabb csavar lehetőségét: a Véletlen egy Körmönfontra cserélve, aki, amikor csak tud hazudik, ha azonban zavarba hozzák, akkor véletlenszerűen válaszol. Jelenleg erre a változatra még nem kaptak megoldást.
Akik eljutottak eddig a részig, azokban bizonyára felmerül, hogy egyáltalán mi értelme van ennek a csűrés-csavarásnak? "Ez nem csupán a logikáról szól, hanem az információ kinyerésről, megismerni annak a természetét, amikor valaki nem hajlandó felfedni a titkait" - magyarázta Wheeler, akivel Brian Rabern is egyetért. "A Véletlen a tökéletlen információval való okfejtés modellezése, amivel folyamatosan szembesülünk a valós életben" - tette hozzá Rabern.
Ha tisztázzuk, hogyan alkalmazhatjuk ezt a leghatékonyabban, azzal bővíthetjük logikai arzenálunkat, egyben segíthet a mesterséges intelligenciák programozásában is. Ez a gondolat inspirálta a Szingapúrban élő Nikolay Novozhilovot, aki hobbiként űzi a rejtvényfejtést, hogy még jobban megkösse a kezeinket. Idén júniusban megváltoztatta a feladványt úgy, hogy ne legyen fogalmunk az istenek nyelvéről, vagyis nem kérdezhetjük azt, hogy "Ha azt kérdezem tőled, hogy …, akkor "da-val" válaszolsz?". "Az elv az volt, hogy ha minden ismeretet kizárunk, akkor is megoldható marad-e a feladat?" - magyarázta Novozhilov.
A válasz igen, feltéve, hogy a kérdezett képes határozott módon kifejezni az alapvető logikai koncepciókat, mint az igazat és a hamist. Ez az eredmény adalékul szolgál a nyelvészek körében régóta zajló vitához egy teljesen ismeretlen nyelv lexikonjának megalkotásához szükséges minimális követelményekről, de érdekes lehet egy intelligens földönkívüli fajjal való első találkozáskor is. "Biztos vagyok abban, hogy az idegenek ugyanolyan logikai értelemmel rendelkeznek, mint mi, bármilyen világban éljenek is" - mondta Novozhilov.
Persze nem szükségszerű ennyire elvonatkoztatni egy fejtörőt lényegétől, Wheeler szerint nem kell ilyen mélységekben kutatni, ha motivációt keres az ember. "Van valami diszkrét bája egy jól megszerkesztett feladványnak" - összegzett.
"Három isten, nevezzük őket A-nak, B-nek és C-nek, valamilyen sorrendben az igazságot, a hazugságot és a véletlenszerűséget testesítik meg. Az Igaz mindig igazat szól, a Hazug mindig hamisat, míg a Véletlen teljesen véletlenszerűen alkalmazza az igaz és a hamis válaszokat. A feladat az istenek beazonosítása három kérdés segítségével, úgy hogy egy kérdés csak egy istenhez szólhat. Az istenek értik a nyelvünket, azonban saját nyelvükön válaszolnak igennel és nemmel, amik valamilyen sorrendben a "ja" és a "da" szavaknak felelnek meg. Találjátok ki, melyik szó mit jelent"
 George Boolos |
Boolos feladványa nem merül ki az isteneket leleplező három kérdés megtalálásában. A fejtörőt időről időre tovább nehezítik a logikával foglalkozó tudósok, mondván az újabb és újabb megoldások mindig egy kicsit közelebb visznek minket az igazság kinyerésének a módszeréhez egy olyan világban, ami bővelkedik a tökéletlen információkban, és talán a logika természetéről is új ismeretekkel gazdagodhatunk.
Boolos a Hardest Logic Puzzle Ever megalkotásához Raymond Smullyan amerikai matematikus fejtörőit használta alapul. Ezekben a feladványokban egy olyan szigetre tévedünk, ahol a lovagok mindig igazat mondanak, szolgáik azonban mindig hazudnak, és ebből a kettősségből általában egy kérdéssel kell kicsikarni valamilyen információt. Boolos egy feladványba gyúrta a sok buktatót, hogy egy pokolian összetett kérdés sorozattal lehessen eljutni a megoldáshoz. "A hazugok és az igazmondók, a nyelv figyelmen kívül hagyása és végül a véletlenszerűség kombinációja teszi rendkívül nehézzé" - mondta Brian Rabern, az Illinois Egyetem filozófusa.
Boolos válaszának reprodukálásával, amit nem sokkal 1996-os halála előtt közzé tett a Harward Review of Philosophy szaklapban, elrontanánk a fejtörés örömét, azonban akiknek szükségük van egy kis segítségre, íme az első kérdés, amit az A istenhez intézett: "A 'da' igent jelent akkor és csakis akkor, ha te vagy az Igazság, és akkor és csakis akkor, ha a B isten a Véletlen?"
Boolost komoly szándékok vezérelték a feladvány megalkotásában. Megoldása az Arisztotelésznek tulajdonított három klasszikus logikai alaptétel egyikének, a kizárt harmadik elvének átfogó alkalmazásán áll vagy bukik. A kizárt harmadik elve azt állítja, hogy az ellentmondás két tagja között nem állhat fenn semmi közbeeső, hanem mindenről mindent vagy állítani, vagy tagadni kell, tehát egy kijelentő mondat vagy igaz, vagy hamis, nincs harmadik lehetőség.
Kérdéses azonban hogy a kizárt harmadik elve maga igaznak mondható-e? Vegyük a következő kijelentést: "Amerika jelenlegi királya szakállas". Hamisnak minősíthetjük ezt azon prózai okból, miszerint Amerikának nincs királya, vagy valahol az igazság és a hazugság szürke határmezsgyéjén mozog ez az állítás? A Hardest Puzzle megoldásával Boolos azt akarta bizonyítani, hogy mennyire nehézzé válik a logikai problémák megoldása, ha valaki kap egy ilyen középutat.
Megoldása azonban nem mindenkinek tetszett. Ahogy Tim Roberts, ausztrál filozófus szarkasztikusan megjegyezte, zavaró az "akkor és csakis akkor", hiszen pontosan ez veszi el a legtöbb laikus kedvét a logikus érveléstől. Miután Roberts 2001-ben elkészítette saját, az "akkor és csakis akkor" állításokat nélkülöző megoldását, megállapította, hogy a "legnehezebb feladvány" nem is volt olyan nehéz, és két bonyolultabb alternatívát vázolt fel: legyen két Véletlen isten és a harmadik Igaz vagy Hamis, vagy egy Véletlen és a másik kettő meghatározatlanul Igaz vagy Hamis.
2008-ban Brian Rabern és testvére Landon egy jóval alapvetőbb hibát fedeztek fel Boolos eredeti feladványában, ami abban rejlik, ahogy a Véletlen megalkotja a válaszait. Ahogy azt korábban említettük Boolos ezt egy érme feldobásában határozta meg, vagyis ha fej, akkor igazat mond, ha írás, akkor hazudik. A Rabern testvérek szerint ebben az esetben csupán annyit kell kérdezni: "Erre a kérdésre hazugsággal fogsz válaszolni?" Az Igaz és a Hamis erre csak a "nemnek" megfelelő szóval válaszolhat, ugyanakkor, ha a Véletlen érméje eközben fejet mutat, akkor igazat kell mondania és szintén nemmel válaszol. Írás esetén hazudnia kell, ismét negatív választ adva, így egyértelműen megtudjuk, hogy hangzik a "nem" az istenek nyelvén. Innentől meglepően egyszerű a megoldás, ez azonban még nem minden. Önmagukra utaló kérdésekkel elvileg teljesen megzavarhatjuk az Igazat és a Hamist. Például kezdjük úgy a kérdést: "A válasz 'ja' lesz arra a kérdésre, miszerint…?" Amennyiben a "ja" azt jelenti, hogy "nem" akkor az Igaz nem mondhat igazat, ha viszont "igent" jelent, akkor a Hamis nem hazudhat, vagyis valamelyikük képtelen lesz válaszolni. "Ezeket nevezzük ’felrobbanó fej’ kérdéseknek" - mondta Brian Rabern.
Az ilyen eldöntetlen állítások az elővigyázatlan programozók legnagyobb ellenségei, mivel olyan programok születhetnek, amiket megbénít a döntésképtelenség. A Rabern testvérek azonban bemutatták, hogyan használhatjuk ezeket a kérdéseket az Igaz és a Hamis gyors leleplezésére, mindössze két kérdéssel oldva meg a feladványt, sőt ha még a Véletlen viselkedését meg is változtatjuk úgy, hogy valóban véletlenszerű válaszokat adjon, akkor is megoldható a fejtörő három lépésben.
A folyamat elindult, újabb és újabb módozatok láttak napvilágot. Bár a felrobbanó fej kérdések érvényessége kérdéses maradt, 2010-ben Gabriel Uzquiano, az Oxford Egyetem filozófusa még összetettebb logikai szerkezetekbe ágyazta a feladványt, hogy bebizonyítsa, a ténylegesen véletlenszerű változat is megoldható két kérdéssel, majd előállt egy még nehezebb változattal, melyben a Véletlen akár azt is megteheti, hogy véletlenszerűen semmit nem mond. Gyorsan érkezett a válasz, még ugyanabban az évben Gregory Wheeler és kollégája, Pedro Barahona az amerikai Carnegie Mellon Egyetem részéről három kérdéssel megoldotta Uzquiano feladványát, egyben felvetve egy újabb csavar lehetőségét: a Véletlen egy Körmönfontra cserélve, aki, amikor csak tud hazudik, ha azonban zavarba hozzák, akkor véletlenszerűen válaszol. Jelenleg erre a változatra még nem kaptak megoldást.
Akik eljutottak eddig a részig, azokban bizonyára felmerül, hogy egyáltalán mi értelme van ennek a csűrés-csavarásnak? "Ez nem csupán a logikáról szól, hanem az információ kinyerésről, megismerni annak a természetét, amikor valaki nem hajlandó felfedni a titkait" - magyarázta Wheeler, akivel Brian Rabern is egyetért. "A Véletlen a tökéletlen információval való okfejtés modellezése, amivel folyamatosan szembesülünk a valós életben" - tette hozzá Rabern.
Ha tisztázzuk, hogyan alkalmazhatjuk ezt a leghatékonyabban, azzal bővíthetjük logikai arzenálunkat, egyben segíthet a mesterséges intelligenciák programozásában is. Ez a gondolat inspirálta a Szingapúrban élő Nikolay Novozhilovot, aki hobbiként űzi a rejtvényfejtést, hogy még jobban megkösse a kezeinket. Idén júniusban megváltoztatta a feladványt úgy, hogy ne legyen fogalmunk az istenek nyelvéről, vagyis nem kérdezhetjük azt, hogy "Ha azt kérdezem tőled, hogy …, akkor "da-val" válaszolsz?". "Az elv az volt, hogy ha minden ismeretet kizárunk, akkor is megoldható marad-e a feladat?" - magyarázta Novozhilov.
A válasz igen, feltéve, hogy a kérdezett képes határozott módon kifejezni az alapvető logikai koncepciókat, mint az igazat és a hamist. Ez az eredmény adalékul szolgál a nyelvészek körében régóta zajló vitához egy teljesen ismeretlen nyelv lexikonjának megalkotásához szükséges minimális követelményekről, de érdekes lehet egy intelligens földönkívüli fajjal való első találkozáskor is. "Biztos vagyok abban, hogy az idegenek ugyanolyan logikai értelemmel rendelkeznek, mint mi, bármilyen világban éljenek is" - mondta Novozhilov. Persze nem szükségszerű ennyire elvonatkoztatni egy fejtörőt lényegétől, Wheeler szerint nem kell ilyen mélységekben kutatni, ha motivációt keres az ember. "Van valami diszkrét bája egy jól megszerkesztett feladványnak" - összegzett.