83
A matematika szépsége
-
#2
az utsó képet nem engedi linkelni... itt az oldal:
http://www.contest2k.com/en/entry-262-0.htm -
#1
A fraktálok mértani formák. pár különleges tulajdonsággal. először is pl. nem egész dimenziójúak (nem 1, nem 2, ilyesmi...)
az egyik kedvenc bemutatása ennek az, amikor egy szigetet vév (pl. anglia) nekiállsz a partvonalát megmérni, milyen hosszú. ha egy km hosszú szakasszal nézegeted, és a végét mindig a víz széléhez teszed, kapsz egy értéket. ha egy 1m hosszú rúddal méregetsz, egy az előzőnél sokkal nagyobb számot kapsz, mire körbeérsz. egy 1 centis pálcikával méregetve még sokkal hoszabb lesz, és így tovább akár molekuláris méretekig. ez a (itt elméleti, a matematikai fraktálokban gyakorlati) végtelen részletesség teszi fraktállá azokat a rajzokat.
A nem egész dimenzióról: szükséges eszközök: 1 papír, 1 ceruza, és soksok türelem.
1. a lap közepére rajzolj egy egyenlő oldalú háromszöget. (ennek a kerülete 3, a területét középsulis matekkal ki lehet számolni, valami gyökkettő van benne ;)
2. minden oldalát oszd 3 részre, és a középső szakaszra rajzolj rá egy-egy-egy újabb szabályos háromszöget. így egy szép hatágú csillagot kapsz (az egyik vallás jelképként használja). a kerülete ennek 4, a területe több, mint az előző.
3. ennek a csillagnak minden egyenes oldalát oszd 3 részre, és mindegyik középső részére pakolj rá egy-egy szabályos háromszöget, úgy mint az előző alkalommal. a kerület az előző 4/3-ára növekedett, a terület is nőtt.
4. ezt ismételgetni kell mondjuk végtelenszer, és így lesz egy szép formád, ami a tökéletes hópehely lenne :) a szép igazán az benne, hogy a kerülete a folyamatos 4/3-al való szorozgatás miatt végtelen nagy lesz, a területe viszont a befoglaló kör teröletét közelíti meg, ami viszont koránt sem végtelen. ennek megfelelően nem lehet síkidom. annál kicsit több, viszont nem térbeli test. (ez a tört dimenzió alapelve, most így hirtelen nem találom a könyvet amiben le van írva, hogy mennyi is ennek a dimenziószáma). ja igen, és a neve a Koch-görbe.
a fraktálok alaptulajdonságai:
1. önhasonlóság.
ez azt jelenti, hogy a fraktál önmagának kisebb másolataiból épül fel. és a kisebb másolatok szintén, azok szintén...
a nagy trapéz 4 kicsiből épül fel, a kicsik 4 még kisebből, stb...
a fraktálok önhasonlósága. A Sierpinski-háromszög.
1. vegyünk 1 háromszöget, 2-2-2 egységnyi oldalhosszal. minden oldalfelezőt köss össze, és a középső háromszöget a 4ből távolítsd el...
2. van 3 szép, egyforma háromszög. játsszuk el ugyanezt, mint az első lépésben...
és mégegyszer...
és mégegyszer...
szép? a befoglaló területe nem csökken menet közben, viszont a teljes területe lecsökken lassan 0-ra, a kerület meg ami bejárható, ennek is felmegy végtelenre... és minden kis része önhasonló a nagyobbal.
2. tört dimenzió.
a pont nulldimenziós. se hossza, se szélessége, se semmi.
az egyenes (vagy szakasz) 1dimenzió.
a síkidomok (mondjuk négyzet) 2, a térbeli testek 3 dimenziósok.
ha egy egyenes szakaszt (ami tökéletesen önhasonló amúgy) minden dimenziójában (az összes 1ben) megduplázunk, a hossza 2szeresére növekszik.
ha egy négyzetnek (a területe mondjuk 1X1) megduplázunk a fenti módon, (hossz, szélesség), akkor a területe 4 lesz. (2X2)
a kockával ezt eljátszva 2X2X2 lesz, amitől 1 térfogatból 8 lesz.
(lehetne továbbmenni 4,5,6, akárhány dimenzióba, könnyen lehet vele számolni, de szemléltetni kicsit nehézkesebb :)))
szóval a másolatok száma a dimenziószámmal összefügg...
a vonalnál ahol 1 dimenzió volt, ott ha azt az 1 dimenzióját megdupláztuk 2^1=2 másolata lett az előzőnek.
a négyzetnél 2^2=4 másolat jelent meg a duplázásnál.
a kockánál 2^3=8 db... és így tovább....
viszont a fraktálok.
vegyük a Sierpinski-háromszöget, mondjuk 1 oldalhosszúságút(a fehér rész a háromszög, a fekete a "lyuk" benne, amit kivagdostunk)
namost ezt is duplázzuk meg minden irányban...
lett 3 darab ilyen háromszögünk...
vagyis a dimenziószám az előzőek alapján : 2^n=3 -al számolva... valahol 1 és 2 közé kell kerülnie... számológéppel kijön egy 1.2 közeli szám, ami a Sierpinki háromszög dimenziószáma. (ahogy már látszott ez több, mint egy egyenes, mivel nem csak 1 dimenziós, viszont területe nincs, vagyis még nem síkidom, ezért a dimenziószáma 1 és 2 közt van)
szóval közel minden fraktál előállítható iterációval (ismétléssel), a Koch-görbe, a Sierpinski-háromszög, és sok egyéb furcsa eset. (egy olyan kocka, aminek a felszíne végtelen, viszont nincs térfogata... a Sierpinski-elvvel működik az is, és valamilyen szivacs a neve...), ja és a JP-s fraktál :)
vannak még a Mandelbrot és Julia-jellegű fraktálok, amik komplex számokkal manipulálnak, és azzal, hogy az iterálás hány ismétlés után közelít meg egy bizonyos értéket. az ismétlések száma alapján különböző színekre színezve ezeket nagyon szép dolgokat lehet alkotni: (ez egy Mandelbrot halmaz képe, ami szintén egy egyszerű egyenlet alapján jön ki.
és bármilyen hihetetlen ez is 2 db matematikai képlet eredménye (Virginia Sterling alkotása, a 2000-es fraktálszépség-verseny győztes munkája): (persze csak a főalak, a kicsik csak a művészi hatás kedvéért lettek odamásolva)
na így hirtelen ennyi.