83
A matematika szépsége
-
#1
A fraktálok mértani formák. pár különleges tulajdonsággal. először is pl. nem egész dimenziójúak (nem 1, nem 2, ilyesmi...)
az egyik kedvenc bemutatása ennek az, amikor egy szigetet vév (pl. anglia) nekiállsz a partvonalát megmérni, milyen hosszú. ha egy km hosszú szakasszal nézegeted, és a végét mindig a víz széléhez teszed, kapsz egy értéket. ha egy 1m hosszú rúddal méregetsz, egy az előzőnél sokkal nagyobb számot kapsz, mire körbeérsz. egy 1 centis pálcikával méregetve még sokkal hoszabb lesz, és így tovább akár molekuláris méretekig. ez a (itt elméleti, a matematikai fraktálokban gyakorlati) végtelen részletesség teszi fraktállá azokat a rajzokat.
A nem egész dimenzióról: szükséges eszközök: 1 papír, 1 ceruza, és soksok türelem.
1. a lap közepére rajzolj egy egyenlő oldalú háromszöget. (ennek a kerülete 3, a területét középsulis matekkal ki lehet számolni, valami gyökkettő van benne ;)
2. minden oldalát oszd 3 részre, és a középső szakaszra rajzolj rá egy-egy-egy újabb szabályos háromszöget. így egy szép hatágú csillagot kapsz (az egyik vallás jelképként használja). a kerülete ennek 4, a területe több, mint az előző.
3. ennek a csillagnak minden egyenes oldalát oszd 3 részre, és mindegyik középső részére pakolj rá egy-egy szabályos háromszöget, úgy mint az előző alkalommal. a kerület az előző 4/3-ára növekedett, a terület is nőtt.
4. ezt ismételgetni kell mondjuk végtelenszer, és így lesz egy szép formád, ami a tökéletes hópehely lenne :) a szép igazán az benne, hogy a kerülete a folyamatos 4/3-al való szorozgatás miatt végtelen nagy lesz, a területe viszont a befoglaló kör teröletét közelíti meg, ami viszont koránt sem végtelen. ennek megfelelően nem lehet síkidom. annál kicsit több, viszont nem térbeli test. (ez a tört dimenzió alapelve, most így hirtelen nem találom a könyvet amiben le van írva, hogy mennyi is ennek a dimenziószáma). ja igen, és a neve a Koch-görbe.
a fraktálok alaptulajdonságai:
1. önhasonlóság.
ez azt jelenti, hogy a fraktál önmagának kisebb másolataiból épül fel. és a kisebb másolatok szintén, azok szintén...
a nagy trapéz 4 kicsiből épül fel, a kicsik 4 még kisebből, stb...
a fraktálok önhasonlósága. A Sierpinski-háromszög.
1. vegyünk 1 háromszöget, 2-2-2 egységnyi oldalhosszal. minden oldalfelezőt köss össze, és a középső háromszöget a 4ből távolítsd el...
2. van 3 szép, egyforma háromszög. játsszuk el ugyanezt, mint az első lépésben...
és mégegyszer...
és mégegyszer...
szép? a befoglaló területe nem csökken menet közben, viszont a teljes területe lecsökken lassan 0-ra, a kerület meg ami bejárható, ennek is felmegy végtelenre... és minden kis része önhasonló a nagyobbal.
2. tört dimenzió.
a pont nulldimenziós. se hossza, se szélessége, se semmi.
az egyenes (vagy szakasz) 1dimenzió.
a síkidomok (mondjuk négyzet) 2, a térbeli testek 3 dimenziósok.
ha egy egyenes szakaszt (ami tökéletesen önhasonló amúgy) minden dimenziójában (az összes 1ben) megduplázunk, a hossza 2szeresére növekszik.
ha egy négyzetnek (a területe mondjuk 1X1) megduplázunk a fenti módon, (hossz, szélesség), akkor a területe 4 lesz. (2X2)
a kockával ezt eljátszva 2X2X2 lesz, amitől 1 térfogatból 8 lesz.
(lehetne továbbmenni 4,5,6, akárhány dimenzióba, könnyen lehet vele számolni, de szemléltetni kicsit nehézkesebb :)))
szóval a másolatok száma a dimenziószámmal összefügg...
a vonalnál ahol 1 dimenzió volt, ott ha azt az 1 dimenzióját megdupláztuk 2^1=2 másolata lett az előzőnek.
a négyzetnél 2^2=4 másolat jelent meg a duplázásnál.
a kockánál 2^3=8 db... és így tovább....
viszont a fraktálok.
vegyük a Sierpinski-háromszöget, mondjuk 1 oldalhosszúságút(a fehér rész a háromszög, a fekete a "lyuk" benne, amit kivagdostunk)
namost ezt is duplázzuk meg minden irányban...
lett 3 darab ilyen háromszögünk...
vagyis a dimenziószám az előzőek alapján : 2^n=3 -al számolva... valahol 1 és 2 közé kell kerülnie... számológéppel kijön egy 1.2 közeli szám, ami a Sierpinki háromszög dimenziószáma. (ahogy már látszott ez több, mint egy egyenes, mivel nem csak 1 dimenziós, viszont területe nincs, vagyis még nem síkidom, ezért a dimenziószáma 1 és 2 közt van)
szóval közel minden fraktál előállítható iterációval (ismétléssel), a Koch-görbe, a Sierpinski-háromszög, és sok egyéb furcsa eset. (egy olyan kocka, aminek a felszíne végtelen, viszont nincs térfogata... a Sierpinski-elvvel működik az is, és valamilyen szivacs a neve...), ja és a JP-s fraktál :)
vannak még a Mandelbrot és Julia-jellegű fraktálok, amik komplex számokkal manipulálnak, és azzal, hogy az iterálás hány ismétlés után közelít meg egy bizonyos értéket. az ismétlések száma alapján különböző színekre színezve ezeket nagyon szép dolgokat lehet alkotni: (ez egy Mandelbrot halmaz képe, ami szintén egy egyszerű egyenlet alapján jön ki.
és bármilyen hihetetlen ez is 2 db matematikai képlet eredménye (Virginia Sterling alkotása, a 2000-es fraktálszépség-verseny győztes munkája): (persze csak a főalak, a kicsik csak a művészi hatás kedvéért lettek odamásolva)
na így hirtelen ennyi. -
#2
az utsó képet nem engedi linkelni... itt az oldal:
http://www.contest2k.com/en/entry-262-0.htm -
#3
en latom azt is.
amugy ez jo kimerito volt :)
mingya elkezdek osztogatni amig egy tigrist ki nem szamolok :) -
#4
ipszilon kérdezte, és úgy gondoltam, ez már nem való a viccek közé. rövedebben leírni nehéz, hosszabban könnyű :) van 1 zsák progi amivel nagyon buli dolgokat lehet rajzoltatni midenféle matematikai háttér nélkül :)
ChaosPro, FractInt (kb 13éve A Fraktálrajzoló Program), meg van 1 millió egyéb, szép fícsörökkel :)) -
#5
Ilyen volt M. Crichton egyik könyvében is... :D -
#6
arról volt szó. Jurassic Park 2... :) -
#7
grat! :-) -
#8
ezt most így egy kicsit nehéz megemészteni, így hirtelen! meg matekból sem vagyok a legjobbak, viszont ez szerintem nem is olyan rossz! :-) -
#9
ja, és köszi, hogy elmagyaráztad! -
#10
Ha jól tudom a Bryce meg a Vou d'Espirit is fraktálokat használ a terepgeneráláshoz. Vagy az más? -
#11
használ azt is. ahogy a természet is. -
#12
szívesen, ha van kérdés, csak bátran :) amúgy nekem se első olvasatra jött össze a dolog... emészteni kell ezt pár napig-hétig... főleg az 1.2dimenziós részt... és elfogadni. -
#13
A GIMP-et kihagytad, pedig nagyon jó fraktál alapú tool-jai vannak. -
#14
én is fraktálok!...(ja, hogy ez szar pojén volt? 
)
-
#15
pláne, hogy amatematikai jártasságom azért nem olyan nagy! -
#16
lehet, azt nem ismerem :) azok ott lent alap fraktálrenderelő progikok. -
#17
Ilyeneket lehet vele csinálni:
-
#18
Most nem a fraktalokrol beszelnek, de a tema bevezetesehez (A matematika
szepsege) szolnek hozza.
Nekem a matematika csak az alaplmuveletekbol all, a tobbi is hasznos, de
rengeteg dolog ertelmetlen. A foiskolan sikerult
rendesen megutaltatni velem, mert ott egy csomo tok felesleges dolgot tanultunk.
A matematikanak biztosan van szepsege is, de az arnyoldala sokkal sotetebb, es
ez elnyomja a szepseget.
Mi is a matematika? Realis muveletekrol szol, mindent meg lehet vele
magyarazni, soha nem lehet benne csalodni, stb stb.
CSAKHOGY EZ NEM IGAZ!!!!!!!!!!!!!! Vannak ellentmondasok is benne, ami
egyszeruen ellenall a jozan esznek. A tort dimenzio sem semmi, de azt meg lehet
magyarazni, amint Efreet tette. Amit viszont mutatni szeretnek, az egy tokeletes
ellentmondas. A kovetkezorol van szo:
Ez a fuggveny az egyperx (1/x) fuggveny, ami az 1:1 pontban van a legkozelebb az
origohoz. Innentol mindket "vege" a tengelyek fele konvergal, de soha
nem eri el azokat. (a fuggvenyt most rajzoltam, azert ilyen csunya.
A fuggveny alatti terulet a kovetkezokeppen szamolhato ki:
Most terjunk vissza az elso fuggvenyre. Ha az X tengelyen az 1-tol a
vegtelenig akarjuk a fuggveny alatti tetruletet kiszamolni, akkor 1-et kapunk,
tehat annak a terulete pontosan 1 egyseg. Annyi, mint a szaggatott vonallal jelolet
negyzet terulete.
VISZONT! es most jon a nagy viszont! Ha az x tengelyen mert 0 es 1 kozotti
fuggveny alatti teruletet szeretnenk venni, akkor az eredmeny VEGTELEN lesz!!!
Hogy miert? Mert a fuggveny soha nem eri el az Y tengelyt, ezert akarmilyen
"magasra" is megyunk, mindig tudunk tovabbra is a fuggveny alatt
magasabbra menni. Tehat a teruletnek soha nem lesz vege. Az elso esetben viszont
(1-tol a vegtelenig merve) mindig egyre kevesebb hianyzik az 1 teruletegyseghez,
de soha nem eri el azt.
Tehat ez itt a nagy ellentmondas. A fuggveny egyszeru tukrozese sajat maganak
45 fokos szogu tukrozes eseten. Tehat mind a ket fele ugyanugy viselkedik. A kulonbseg
megis oriasi. 1 es vegtelen. Nem is oriasi, hanem hatalmas. Es az a legviccesebb
az egeszben, hogy ha a koordinata rendszert egyszeruen 90 fokkal elforgatjuk,
vagy csak egyszeruen etnevezzuk a tengelyeket, akkor az 1-bol vegtelen lesz, a
vegtelenbol meg egy.
Na emiatt veszitette el a matematika a hitelesseget a szememben.
-
#19
a végtelennel jókat lehet játszani. kezdődik ott, hogy többféle végtelen van. van a sima "megszámlálható" végtelen, és van a kontinuum (ami kicsit több, mint a másik végtelen (szóval izé... több... a végtelen ilyen szempontból furi dolog))
a kedves kis 1/x fv meg egyéb érdekes dolgokat is művel. pl a lenti szépséget megforgatva az x tengely mentén (3dimenzióban) kapunk egy szép forgástestet. ennek a vége a végtelenben eléri a 0-t (mert eléri), vagyis a végén zárt. namost az y tengelynél fogva be kell fordítani, és feltölteni folyadékkal, mint 1 nagy kupát. cuki az, hogy a térfogata végtelen nagy. viszont kívülről befestve véges a felülete... milyen buli dolog is ez... egy olyan söröskupa ami létezik, legyártható (mert a felület véges, vagyis anyagból elkészíthető), viszont a térfogata végtelen. (most a sörmolekula nagyságától eltekintünk ;))... ebben sincs semmi ellentmondás, a matematika ilyen, és a végtelen nem szám, hanem fogalom.
ja, még1 dolog... 1/x primitív fv-e ln|x|.
T = int(a,b)1/xdx kiszámolása (Newton-Leibnitz formula, ami feltételezi, hogy a fv integrálható [a,b] intervallumon, és ez az) = ln|b| - ln|a|.
behelyettesítve:
0 és 1 közt: ln|1|-ln|0+0|(jobboldali határérték) = 0-(-végtelen) -> végtelen
1 és +végtelen közt:
ln|végtelen|-ln|1| = végtelen - 0 -> végtelen
hol van itt az ellentmondás? lehet hogy csak nagyon este van, de nálam a 2 végtelen pont ugyanannyi....
(híjj... kevesen lesznek jövőre matekszakon ;)))) -
#20
oppsz.. Lnézést, a söröskupát csak x=1től kell venni. előtte kissé széles lenne a teteje iváshoz... így viszont már tökéletes.
most nincs kedvem utánaszámolni, de itt vannak a képletek: (ha minden igaz, és nem keverem össze valamivel. (bocsi, több mint 2 éve tanultam, és rég használtam...))
felulet= 2PI*int(a,b)[f(x)*gyok(1+{f'(x))^2)]dx
terfogat= PI*int(a,b)[(f(x))^2]dx
valahol a négyjegyűben is benne van... ja igen, gimisek! minél régebbi 4jegyűt szerezzetek be, sokkalsokkal több minden van benne. az én 1986os példányom már nem rossz, de érdemes ősleleteket bevadászni, ha ilyen dolgokat fogtok tanulni, megéri. -
#21
ja, és még 1 mondat :
A matematika nem hazudik. A valóság gyakran pontatlan.
na jóéccakát
-
#22
maradok a ketezernel ott hozza is tudok szolni :) -
#23
naaa... :)) -
#24
erdekes ez csak nemsok közöm van hozza :) -
#25
-
#26
opppsz...
-
#27
megy ez, illett volna nem elcsűrni elsőre... -
#28
meg mi is tevedhetünk... -
#29
mentségemre legyen, hogy először linkeltem képre képet. -
#30
ez se mukodik meg. :)
legalabbis rakattintva nem talalja -
#31
nekem igen... -
#32
most nezem csak 403 as error, tehat nics hozzaferesem :) biztos nem szereti a proxyt a szerver -
#33
próbálkozz a www.ultrafractal.com felől... -
#34
joezigy kicsiben is -
#36
nagyon állat dolog :) irány a cyberspace :) (a commanche nevű játék anno használta terepgenerálásra-tárolásra a fraktálegyenleteket, sőt próbálkoztak már képtömörítési fraktál-algoritmusokkal is) -
blackgamer #37 ha szeretnél ilyenekkel hülyülni, akkor itt egy progi hozzá
Visions of chaos
-
#38
nem kéne lopkodni.. -
blackgamer #39 mekkora szar, ami a neten van az hagy legyen már belinkelhető
mindegy a lapon megnézhető -
blackgamer #40 Dos-os progi by KGy SOFT -
#41
fractals
esek se szarok :)
