Matematikai megközelítés:
A dolog titka az, hogy a relativitáselméletben a koordináta-rendszerek transzformációja (hogy a különböző dolgokhoz rögzített koordináta-rendszerek között hogyan számolunk át) nem olyan egyszerűen történik, mint a klasszikus esetben, amit iskolában tanítanak.
A négydimenziós téridőben a pontok eseményeket jelölnek: a tér egy adott pontján adott pillanatban valami történik. Az ikerparadoxonos példád esetében A pont jelöli azt az eseményt, amikor az űrhajó elindul, és mondjuk B pont az, amikor az űrhajó megérkezik. Az A és B pontok egymáshoz viszonyított "helyzete" a négydimenziós téridőben változó attól függően, milyen koordináta-rendszerből nézzük. Más időt mér a bolygón lévő megfigyelő, mást az űrhajón, de megint mást egy kettejüktől függetlenül mozgó harmadik megfigyelő.
Ez analóg azzal, hogy mondjuk egy vektor x,y,z koordinátája változó attól függően, hogyan áll az a koordináta-rendszer, amiben a vektor komponenseit leírom. A téridőben az idő is egy ilyesmi komponens.
Viszont vannak invariáns, azaz nem változó mennyiségek, amik koordináta-rendszertől függetlenül állandóak. Klasszikus esetben ilyen például egy vektor hossza. Tök mindegy, hogyan forgatok egy koordináta-rendszert (továbbiakban KR), egy adott vektor mindig ugyanolyan hosszú marad, és ez egy összefüggést teremt az x,y,z koordinátákra a különböző KRekben.
A négydimenziós téridőben is van ilyen, de az most nem a hosszúság (hiszen azt tudjuk, hogy változhat szemlélőtől függően), hanem az időt is magában foglaló mennyiség, amit ívhossznak hívnak. Tulajdonképpen az ívhossz a hosszúságnak megfelelő mennyiség négy dimenziós téridőben (a képlete is majdnem ugyanaz).
Namármost térjünk vissza az eseményekre. Az ikerparadoxonban három esemény történik igazából: az űrhajó elindul (A), az űrhajóm megfordul (C), az űrhajó visszaér (B). Ez a három pont egy háromszöget rajzol ki a téridőben. Ahogyan a klasszikus esetben sem mindegy, hogy egy háromszög két pontja között közvetlenül mérjük a távolságot, vagy a harmadik ponton keresztül (háromszög-egyenlőtlenség), úgy itt sem mindegy, hogy az ívhosszt mely pontokon keresztül mérjük. A bolygó pályája (világvonala) az A és B pontokat közvetlenül összeköti, míg az űrhajó pályája a C pontot is érinti. A két pálya ívhossza különbözik (anti-háromszögegyenlőtlenség, mert a közvetlen vonal hosszabb, mint a kitérő).
És most jön a slusszpoén, a sajátidő és az ívhossz valójában azonos fogalmak (egy konstans erejéig). Most ezt hadd ne vezessem le, hogy miért. Klasszikus analógiával, az objektumhoz rögzített koordináta-rendszer ahhoz hasonlít, mint amikor klasszikus esetben az x tengelyt a vektor irányába fordítjuk: ilyenkor a vektor x komponense épp a vektor hosszát adja (a többi pedig 0). A négydimenzióban hasonló, ott a negyedik (nulladik), azaz az időkomponens épp az ívhosszat adja, míg a másik három komponens, azaz a térkomponensek 0-k, hisz az objektum az origóban csücsül.