27
Káoszelmélet
-
#27
UP!
Keresem megvételre James Gleick-től a Káosz c. könyvet! Akinek van egy eladó példánya, küldjön privátot! Előre is köszi! -
#26
Ez nagyon lényeges szempont!
A fraktálok, a káoszelmélet függvényei általában folytonosak és nincs korlátjuk.
A valóság viszont szemcsézett. A tengerpart hossza fraktál függvény szerint végtelen, a valóságban viszont akkor sem állhat végtelen homokszemből, vagy atomból.
Másrészt a kis méretű jelenségeket leíró kvantumfizika matematikája általában nem támaszkodik a dinamikus rendszereket leírő matematikai eszközökre.
Az összetett jelenségeket max perturbáció számítással próbálja megoldani, aminek az elve kis zavar kis változás.
Ez ugye ellentmond a káoszelmélet alapelveinek.
Sajnos nagyon kevés olyan kutatást látni, ahol a káoszelméletet próbálják a kvantummechanikával házasítani.
Pedig szerintem érdemes lenne. -
#25
Más a hossza a tengerpartnak atomi szinten és más kvark-szintem. Minden attól függ, hogy neked mit jelent az, hogy tengerpart. A külömbség az agyadban létezik csak. -
#24
Ha halálpontosan ismernénk a kezdeti feltételeket, akkor sem lehetne hosszútávú jóslást adni semmire.
Ez a káosz. Ez a mi világunk. -
#23
de az előrejelezhetetlen (pontosan) ..nem bizonyítható. nem? -
#22
Semmi esetre sem!
A káoszelméletnél a nem kiszámíthatóság azt jelenti, hogy azok a szabályok amelyek pl képesek 3 napra előre viszonylag nagy pontossággal "megjósolni" a rendszer állapotát, 7 nap után már csak igen alacsony valószínűséggel képesek erre. Pedig a rendszer és a modell koherenciája elég nagy.
Ez a modellekben levő nem-lineáris (pl exponenciális) függvények és a a kezdeti feltételek pontatlanságának egyfajta egymásrahatásaként is értelmezhető.
A káoszelmélet eszméletlen komplex állapotokat tud produkálni viszonylag egyszerű modellek segítségével. Itt minden számítható oksági elvere alapuló modellből származik, de időben előrehaladva rohamosan csökken az érvényesség.
-
#21
A megjósolhatatlan ugye nem az oknélküli szinonimája?
Szerintetek miben különbözik a kettő? -
noax #20 s -
rastacall #19 Szia,
1. A felbontásról: a kvantum definíció szerint attól kvantum hogy nem lehet tovább bontani, avagy a bit-nek is van számértéke mégse lehet kisebb egységgel számolni, nincs olyan hogy 0.2 bit. Nexus6 is írta.
Nem értem mi az hogy a téridő egysége lehet a szuperhúr struktúra.
2. A Heisenberg-féle határozatlanság nem a "mi hibánk", ez alatt azt értem hogy nem a műszereink pontatlansága, vagy valamilyen érzékszervi vagy agyi hiányosság okozza hanem minden létező tulajdonsága. Nem küszöbölhető ki semmilyen méréssel, mert mégegyszer mondom ez egy tulajdonsága a dolgoknak. Így aztán a pontosság nem nehéz hanem elvileg lehetetlen. A szuperhúr elméleteket elméletnek se igen lehet nevezni, mert egyrészt semmilyen kíséleti bizonyíték nincs rá, másrészt nem lehet a felhasználásával előrejelezni semmit (ellentétben a kvantummechanikával)
3. A káosz jelenleg is szimulálható, a probléma vele az amit Nexus6 is irt, hogy a kezdeti feltételekre való végtelen érzékenysége miatt nehéz pl időjárásjelentést készíteni. Akár atomi szintig modellezve a Naprendszert se. A kezdeti (szubatomi) bizonytalanságok rövid idő alatt olyan méretűre nőnek mint a teljes rendszer, ez a káosz lényege. -
#18
1. A felbontásról: Különféle egységek vannak a téridőre és az energiákra vonatkozóan.
A kvantumok kifejezetten energia/tömeg egységek, aminél számolunk kisebbel hiszen számértéke van.. A szimulációban pedig a végtelenségig oszthatjuk (elméletileg).
A téridő egysége lehet a szuperhúr struktúra, amit ha a Planck-időnél kisebb léptékben szimulálunk, akár az Ősrobbanástól, a szimulákrumot felgyorsítva láthatjuk akár a Világvégét is. Ennek 1ik feltétele h a szimuláció visszafelé is működjön, amivel szemben szerintem nem ellentmondás az, hogy az Időnek bizony rögzített iránya van az entrópia által (termodinamika 2. főtétel -ezt állandóan emlegetik :).
Ez esetben -ha a szimuláció tökéletes- a Világ alfája és omegája, vagyis a fennt említett két szingularitás közötti rész kiterített képeskönyv lesz az emberek számára.
2. A pontosság feltétele pedig a struktúra és a kezdet pontos imerete, vagy az összes fizikai törvényszerűség ismerete. Mindegyik nagyon nehéz, de talán nem lehetetlen, sok tudósok kutatja (pl a TOE-t, a Mindenség Elméletét). A szuperhúr-elmélet továbbgondolva, kétségbe vonja a határozatlanságokat, bár lehet h tévesen, mindenesetre a világ törvényeit jellemző logika alapján úgy gondolom h a vákuumban létrejövő 'véletlen' részecskék is a téridő koordinátarendszerében pontosan meghatározható események, s ídővel előre jelezhetőek lesznek. Már csak egy "Gép" kell amin szimuláljuk a világ eseményeit :), aminek megvalósítása is egyenlőre filozófiai kérdés. Szvsz a számítógépek v akárminek is hívjuk őket, egyszer elérhetnek egy olyan szintet h saját magukat (és a környezetüket is) simán képesek egzaktul szimulálni, a valós időnél gyorsabban is. (Ebből következik a megintcsak privát vélemény, h élőlényt (és annak viselkedéseit) is, tökéletesen tudja virtualizálni, számhalmazzá alakítani; akár az embernél fejlettebb (kitalált) intelligenciát is; az evolúciót is.) Innen már csak 'informatikai' (v milyen?) fejlődés, vagyis idő kérdése, hogy az emberiség, v már a gépek civilizációja megvalósítsa
a "Gépünket", ami persze lehet h nem következik be, de esély van rá (a hipotézisem szerint :).
3. Az említett csodamasinával nincs az a káosz (legyen pejor v matematikai szleng kifejezés), ami nem szimulálható.
"Ehhez társul, hogy nem vagyunk képesek végtelen pontossággal meghatározni a kezdeti paramétereket, a végső határt pl pont a QM valódi statisztikus fluktuációja jelentheti." Na pont ez a kapcsolat a két világ között. S erre magyarázat az általam írt 2. pont.
Az időjárás előrejelzési példádról meg annyit, h ha a Föld egésze (beleértve tektonikát, bioszférát, civilizációt, légkört) és a ráható Naprendszerbéli esetleg külső erőket, részecskeáramlásokat - mondjuk atomi szintig modellezzük (s mondjuk az energiaszinteket is ennek megfelelően skálázzuk), és nem tovább, már ez a virtualizáció is képes lesz a 10 napnál további előrejelzésre, a földfelszín bármely négyzetmilliméterére nézve. Tehát a jósolás határa nem létezik szerintem, hiszen az informatika ill a majd következő tudományok fejlődése is a végtelenig tart (idális esetben), ami nemcsak több lebegőpontos számítást jelent, hanem több modellt összevetve kiszámított okosabb algoritmusokat, önmagát fejlesztő MI-t, analóg számításokat v egyéb különlegességeket.
4. Az nem következik az általam vázoltakból, h a világegyetemünkön kívül is megismerjük az eseményeket -pl más világegyetemeket v a miénk oszcillációját- hiszen a szingularitásokról nem tudunk még sokmindent, ill a megfigyelt univerzumon kívül is csak sötétben tapogatózunk. A Mindenség Elmélete is szvsz csak a mi univerzumunkra vonatkozik. De nekünk ez elég is, mert akármi van azon kívül, soha semmilyen körülmények között nem leszünk vele kölcsönhatásban. (Tehát nem is létezik, v végtelenminden létezik, -filózófia rules! :)
5. A materialista szemléletmódon változtatva, lehet h az imádkozó buddhista lámák is elméjükkel/lelkükkel az univerzumot modellezik, s a teljességet akkor érik el ha pontos a szimulákrumuk. Számokat és fizikai képleteket nélkülözve megértik a Mindenség Elméletét, ezért olyan fura a viselkedésük (pl nem akarnak PS3-at birtokolni. :)
-
#17
Heisenberg állandó = Planck állandó
Elnézést! -
#16
Két alapvetően téves szemléletmódot érzek ebben a hozzászólásodban. Ez a tévesség nem biztos hogy valóban téves, csak éppen a QM és a káoszelmélet mai állapotához képest az. Valószínűleg lehet ilyen szimulátort csinálni csak a dolog sokkal bonyolultabb.
Az első szemléletmódi tévedés a QM et érinti. Az általad felvázolt szimulákrum akkor működhetne, ha a jelenlegi QM által leírt világon finomíthatnánk, olyan paramétereket vezethetnénk be, melyek az általunk érzékelthez képest sokkal finomabb felbontásúvá tennék ezt a világot, a modellt aztán egy szupergyors számítógépen futtatva a rendszer meg tudja jósolni a jövőt.
A dologgal két probléma van:
1 jelenlegi tudásunk szerint nincsenek rejtett paraméterek, és értelmetlenség is ebbe a QM rendszerbe ilyeneket bevinni, mert nem növelik a joslás hatékonyságát.
2 már csak azért sem mert a QM ideje nem egyirányú. A határozatlansági tényező által meghatározott tér és idő, nem egyszerűen homályos, hanem valóban időben visszafelé tartó is lehet, ráadásul a tér is szétfolyni látszik, hiszen a kapott eredmény lehet hogy mikrométer de lehet hogy több fényévnyi távolság lesz.
Lehet hogy a Heisenberg állandó csak egy határt jelez, ami mögött egy érthető struktúra van, csak éppen jelen pillanatban e mögé a határ mögé nem láthatunk be.
A másik enyhébb félreértés a káoszelmélettel kapcsolatban van: a káoszelmélet elnevezés ugyan is félrevezető, sokkal jobb a nagykomplexitású dinamikus rendszerek elmélete, csak az meg ugye marha hosszú.
A helyzet az hogy ez a káoszelmélet által leírt végtelen összetetség egyáltalán nem határozatlan, sőt! A káoszelmélet viszonylag egyszerű matematikai formulái végtelen pontossággal képesek megadni bárminek az állapotát!
A gond az, amit nem szoktak kellő alapossággal elmagyarázni, hogy a bonyolult rendszereket leíró modellek rendkívűl érzékenyek a kezdeti paraméterekre, a valós értékektől való legkisebb eltérésre is! Ehhez társul, hogy nem vagyunk képesek végtelen ontossággal meghatározni a kezdeti paramétereket, a végső határt pl pont a QM valódi statisztikus fluktuációja jelentheti.
A két dolog annyira lerontja a káoszelmélet mint szupermodell hatékonyságát, hogy ezáltal a mai ismereteinkkel leírt téridőban létezik egy határ (ráadásul kiszámítható határ), amin túl a jósolt események soha sem fognak egyezni a valósággal, pont a modellbe a kezdetekkor már bevitt gyakorlati hiba miatt!!
10 évvel ezelött az időjárást mint kaotikus rendszert kb 3 napra voltunk képesek pontosan előre jelezni. Manapság amikor a számítógépek teljesítménye és a bevitt adatok pontossága több nagyságrenddel nagyobb ugyan úgy 3 napra vagyunk képesek az időjárás előre jelzésére!
Ezt a határt valószínűleg soha nem fogjuk tudni, pusztán a számítógépek teljesítményének és a mérés pontosságának emelésével. Viszont mint írtam a határ kiszámítható, és sajnos olyan gátat jelent mint pl a fénysebesség. Ezen a határon túl minden reálisan kicsi eltérés végtelen naggyá növekszik. Az időjárás tekíntetében pedig kb 10 napot jelent, közel végtelen számítási képesség és szinte végtelen pontosság esetén is.
Én inkább a dolog hasznosságát abban látom, ha sikerülne a káoszelméletet és a qm törvényszerűségeit figyelembe vevő és kihasználó gépet csinálni, akkor az pl lehet hogy sokkal tartósabb lenne (káoszelmélet) mint a maiak, másrészt kihasználhatná a vákuumfluktuációkat, olyan önműködővé válhatna, mint a mag körül keringő elektron!
A világ többi részének működését, a jövőjét sajnos továbbra sem ismernénk kellő pontossággal, de legalább lenne egy ilyen szerkezetünk amit egy csomó dologra tudnánk felhasználni. -
#15
A qm-i határozatlanság és az összetett rendszerek káosza között elég sok hasonlóság van.
Mind1ik nagyon bonyolult struktúra. Ha pontosan akarjuk mérni ill kiszámítani a paramétereket, akkor feltétlenül szimulálnunk kell a rendszert. Ha a szimuláció quantum (ill a világegyetem mértékeinek legkisebb egységében -ami talán még a quantumnál is kisebb-) szinten történik az inercia rendszerre nézve, azután nincs semmiféle határozatlanság, nincs előre nem látható dolog. Ha a szimuláció ideje gyorsabban telik, mint a "megfigyelt" azaz lemásolt rendszer "imaginárius"(a'la Hawking) ideje, akkor miénk az egzakt jövőbelátás képessége.
Tehát én a szimulákrumban(a'la Jean Baudrillard) látom a világegyetem teljes megismerését, ami a szuperhúroktól, a szubatomi részecskéken át a szupergalaxisokig pontosan mindent szimulál. Persze ez csak utópia, 1enlőre, de a számítási teljesítmény a jelenlegi szílicium alapú digitális számítógéppekkel is másfél évente duplázódik.. 100éve pedig a sugárhajtás is utópiának tűnt. S azért hál' isten néhány tudós dolgozik a problémán. (Vagyis nem vok annyira hülye. :)
A káoszelmélet fuzzy-számításai és valószinűségtörvényei csak durva közelítések, egy adott esemény tájolására. Ezen törvényeket szerintem igenis használják a miniatűr határozatlanságok kapcsán, de nem értek hozzá (én még nem használtam :).
Mindenesetre szerintem ez lehet a megoldás, persze nem ma. De más megoldás nincs. A szimulákrum lehet a tudomány összes kérdésére a válasz. Máskülönben újabb kérdések generálódnak, hasonlóképp a Heisenberg-határozatlansághoz (metafóra akar lenni).
Mind1, késő van. Ha a teljes szimuláció nem lehetséges, akkor a világ magyarázata sem lehetséges.
Bár egy kérdés még utána is maradhat: Miért van? -
#14
;)
Makroméretekben nincs jelentősége a határozatlansági tényezőnek, csak nagyon kis méretekben, így tud ugyanis a QM a klasszikus fizikához kapcsolódni. Ott most is magától kiküszöbölődik.
A megfigyelő/megfigyelt kvantum összekapcsolódásának problámájára meg sajnos szintén nem lehet megoldást találni, mert az eszközeink nem egyszerűen az adott részecskét, hanem az egész kvantum vákuumot megzavarják.
A megfigyelt részecskék pedig ettől vagy elbomolhatnak, vagy természetellenesen sokáig egyben maradnak.
Az egész probléma érdekességét én abban látom, hogy a QM folyamatok bizonyos fokú kiszámíthatatlansága (statisztikus jellege) teljesen más jellegű mint a káoszelmélet kiszámíthatatlansága.
Ha a kettőt össze tudnánk kapcsolni valahogy az viszont tényleg egy fajta kiküszöbölése lehetne a határozatlansági tényezőnek, amit felfoghatjuk a téridő-kontinuum fraktál egy fajta "szemcsézettségét" leíró számnak, de ha magát a fraktált leíró eljárást találnánk meg akkor valóban helyettesíteni tudnánk. A QM is egy csomó olyan helyen alkalmazhatóváválna ahol jelenleg még elletmondásos eredményeket ad.
Érdekes, hogy ilyesmivel milyen kevesen foglakoznak, sajnos a káoszelmélet szinte teljesen érintetlenül hagyta a QM-t!!!
-
#13
Bár nem olvastam még el az #1-et -majd holnap-, de szerintem a határozatlansági tényező is kiküszöbölhető lesz előbb-utóbb, ill az is csak egy technikai probléma. Bár quantum szinten is fel lép (erre alapoz a legújabb titkosítás), úgy gondolom túl lehet lépni a tényleges megfigyelésen.
A gravitáció és az idő quantumja pedig elvileg benne van a tér szuperhúr elméletében. Amire mindig annyian hivatkoztok. Tehát a replikáns úrral 1et értek. :) -
#12
got to gumi! -
Aspyrin #11 hm, nem volt gyerekszobád -
#10
két cukorral kérem !! -
#9
Kapott is egy egyébveszély táblát;) -
#8
Úgy tűnik tehát, hogy a kvantummechanika érvényességéhez az időnek is egyfajta szemcsézetséggel kell rendelkeznie mikro szinten.
Vagy is ha megtaláljuk a tér és főleg az idő (ezáltal a gravitáció) QM leírását, akkor a cikkben szereplő kérdésekre megkapjuk a választ.
Szerintem -
#7
ezt te irtad????
ha nem akkor illett volna a forrást meg nevezned!!!! nem szép dolog ám valakinek az iromyányt bemásloni egy forumba... megy ugy alap, hogy sehova az eredeti szerző megnevezése nélkül
-
#6
A cikk jó, bennem is felvetődtek hasonló kérdések.
A makro világnak egy olyan viszonylag jó és összetett modellje mint a káoszelmélet, hogyan kapcsolható egy hasonlóan összetett elmélethez amilyen a QM, ha ugyan kapcsolható?
Másrészt a káoszelmélet jósolta modell is eltér a valóságtól, mert a valóságban a dolgok szemcsézettek (összekapcsolódó részekből állnak, melyek törvényei modellje mások mint a nagy egészé).
Pl elméletileg bármilyen instabil bolygópályákat időben bármilyen távolságig vizsgálhatunk (végtelen finomságú állapottereket is hozzájuk rendelhetünk), gyakorlkatilag viszont ezek a polygópályák véges időn belül megközelítik annyira egymást, hogy a bolygók összeütköznek, és utána pedig már nincs mit vizsgálnunk!!!!
Másképp megfogalmazva: az űrből nézve egy tengerpart olyan fraktállal írható le, ami akár végtelen hosszúságú is lehet, miközben jól tudjuk, hogy a tengerpart hossza rettentően nagyszámú, de véges homokszem egymásmellé rakásával keletkezik!
Ha a tengerpartot leíró fraktál szabálynak a homokszemek szintje alatt is lenne érvényessége (nem lennének homokszemek), akkor akár valóban végtelen lehetne a part hossza.
-
#5
http://www.kfki.hu/chemonet/TermVil/tv9705/kaosz.html -
#4
káosz-elmélet topic -
#3
nem túl nehéz téma 12 éveseknek ???? :O de azé jó! -
#2
O.o -
asd2100 #1 A determinizmus kanonikus formáját Newton vezette be a fizikába már több mint háromszáz éve. Ez a következőképpen működik. Egy rendszernek van egy állapota; ha ezen állapotot meghatározó paraméterek értékeit -- tehát azok kezdeti értékeit -- ismerjük egy időpontban, akkor a mozgásegyenletek meghatározzák az új állapotot, megadván a változó paraméterek új értékeit. Ez a determinizmust mint kezdetiérték-problémát kodifikálja. A kezdeti állapotból egyértelműen előre kiszámíthatók az ebből később kifejlődő állapotok.
Tehát a) nem tettünk különbséget determinizmus és előre kiszámíthatóság, a predikció között; b) a determinizmus a predikció által automatikusan beépült a fizikába, ugyanis egy elmélet minősége annak előreszámítási képességétől függ.
Maga a matematikai leírás geometriai kép segítségével szemléletesen ábrázolható. Az állapotot az absztrakt állapottérben egy pont jelöli ki (a dinamikában ezt a teret fázistérnek nevezzük.) Ahogy pereg az idő, ez a pont vándorol az állapottérben, görbét -- utat -- húzva maga után. Az utak nem metszhetik egymást, mert akkor a metszéspont által ábrázolt állapot két különböző kezdeti állapotból is keletkezhetett volna, ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy a kezdeti állapot egyértelműen határozza meg a végállapotot. A lehetséges kezdeti állapotokat ábrázoló pontsereg összesége folyadékot alkot az állapottérben. Ezért az állapotok fejlődését úgy is szemlélhetjük, mint ennek az állapotfolyadéknak az áramlását. Ezáltal a mozgásegyenletek lehetséges megoldásait úgy tudjuk értelmezni, mint különböző folyadékmozgásokat, és így már kvalitatív megértésre is mód nyílik, akár az egyenletek részletes megoldása nélkül.
Mondanom sem kell, hogy a mozgások ilyen leírásának hihetetlen sikere volt (és van) mind elvben, mind gyakorlatban. Kidolgozásához olyan géniuszok neve fűződik, mint Laplace, Legendre, Hamilton, Jacobi és sokan mások. Ez irányú munkásságuk a matematika legszebb lapjai közé tartozik ma is. Ennek segítségével írjuk le a bolygók mozgását a Naprendszerben, akárcsak az űrhajókét vagy a biliárdgolyókét a biliárdasztalon.
A váratlan meglepetés
Majdnem száz éve, 1897/98-ban, váratlan villámcsapás ütött be. Jaques Hadamard, a zseniális francia matematikus meglepő eredményre jutott. Tömegpontok szabad mozgását tanulmányozta olyan zárt felületeken, melyeknek görbülete minden pontban negatív és azonos. (Így minden pontjuk nyeregpont, ezért nem is könnyű ezeket mint a háromdimenziós euklideszi térbe beágyazott felületeket elképzelni. Ha a görbület minden pontban azonos, de pozitív, csak egy ilyen felület létezik: a gömbfelület. Negatív görbület esetén azonban végtelen sok ilyen felület van.)
Hadamard a következő eredményre jutott. Képzeljünk el két pályát. Ezek úgy jönnek létre, hogy az egyik pálya kezdeti adatait parányival megváltoztatjuk, ez lesz a másik pálya. Azt találta, hogy ez a két pálya rohamosan eltávolodik egymástól, és rövid idő múltán semmi hasonlatosságot nem mutat. Minthogy egy véges felületen nem tudnak teljesen elszökni egymástól, egyre kompilkáltabb mozgásokat fognak végezni, hogy egyre növeljék egymás között a távolságot. Tehát a mozgás hihetetlenül érzékeny a kezdeti állapot megváltozására, vagy a kezdeti állapot megadásában rejlő hibára. (Ezt a hibát úgy is lehet értelmezni, mint a kezdeti hely eltolódását.) A nyeregpont azután destabilizálja a mozgást, és ezáltal felnagyítja a kezdeti állapot megadásában rejlő lehetséges hibát. Tehát egy parányi ok óriási okozatot tud létrehozni. Idézem Hadamard-t (1):
"... ha ez így van, akkor érdemes megjegyezni, hogy az égi mechanika egyik alapproblémája -- a Naprendszer stabilitása -- elveszti értelmét, még absztrakt megfogalmazásában is, amikor pont mozgását vizsgáljuk a newtoni gravitációs vonzás következményeként.
Természetesen, ha a rendszer meghatározott erők hatása alatt fejlődik, és ha a kezdeti állapot matematikai precizitással van megadva, akkor a későbbi mozgás és annak tulajdonságai is meghatározottak, még ha az idő a végtelenhez tart is. Az asztronómiában azonban nem ez a helyzet! Ott az adatok, amelyek a mozgást meghatározzák, nincsenek matematikai precizitással megadva, hanem csak fizikai precizitással, tehát hibával, amely csökkenthető, de meg nem szüntethető.
Amennyiben mi a mozgást csak egy véges időn át követjük, legyen az bármily hosszú is, elképzelhető, hogy a kezdeti adatokban rejlő hiba annyira csökkenthető, hogy az már nem befolyásolja jelentősen a pályát. A fenti eredmény azonban azt mutatja, hogy nem juthatunk erre a következtetésre a pálya végső elrendezésénél. Ez függhet, mint jelen esetben, az integrációs állandók nem folytonos aritmetikai tulajdonságaitól."
Hadamard tehát egy új és váratlan lehetőséget fedezett fel. Léteznek olyan mozgások, melyek determinisztikusak, de előre meg nem mondhatók. Megszületett az, amit ma kaotikus mozgásnak nevezünk!
A klasszikus káosz
Hogan tudjuk átlátni, mi történhetett? Poincaré vetette fel az ötletet, hogy a mozgások kvalitatív analízisét az állapotfolyadék mozgásának kvalitatív analízise révén tanulmányozhatjuk. A következő kép alakul ki.
Sok esetben, mint például a bolygók mozgásánál, az állapotfolyadék simán áramlik, mint lassú folyam a medrében. Ezek az úgynevezett integrálható mozgások. A kaotikus mozgásoknál azonban nem ez a helyzet. Ott az állapotfolyadék úgy viselkedik, mint mint gyúrás közben a tészta. Az idealizált háziasszony kigyúrja a tésztát vékonyra, majd darabokra vágja, a darabokat egymásra rakja és újra kigyúrja. A káoszt létrehozó mechanizmus ugyanezt utánozza. A gyúrás során az állapottészta egy irányban vékonyodik, a másik irányban kiterjed; a felvágás és egymásra rakás pedig újra és újra megkeveri az állapottészát. (Ezt az irodalom "pék-transzformációnak" nevezi - szerk.) A masszában az egymáshoz közel fekvő pontok (állapotok!) a gyúrás miatt távolodnak, míg a felvágás és egymásra rakás következtében összekeverednek. Így sorsuk egymástól teljesen függetlenné válik, ellentétben a simán áramló folyóval.
Poincaré programjának folytatása a matematika egy új területét, a dinamikus rendszerek elméletét hozta létre. Nagy sikerei közé tartozik -- többek között -- a különböző lehetséges mozgások részletes matematikai osztályozása és tanulmányozása. Itt olyan nevekkel találkozunk, mint Birkhoff, Hopf, Smale, Milnor és sokan mások.
E megfigyelések és munkák többel is szolgáltak, mint csupán matematikai meglepetéssel, szépséggel és eleganciával. Egyben választ adtak egy hosszan zaklató kérdésre, és az e a válasz létrehozta annak a statisztikus mechanikának a megalapozását, amely a mindennapos, makroszkopikus világgal foglalkozó fizika nagy részét tartalmazza.
A statisztikus mechanika valószínűségi számításokon alapul. Már annak megalapítóiban -- mint Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Poincaré, Einstein és Smoluchowski -- felmerült annak a kérdése, hogy miképpen lehet valószínűségi számításoknak bármi helye egy determinisztikus fizikában?
A dinamikai rendszerek modern elmélete megadja erre a választ, és bebizonyítja, hogy az a megsejtés, amelyre Maxwell és Boltzmann alapította magyarázatát (az ergodikus hipotézis), valóban érvényes a kaotikus mozgásokra. Sőt, nemcsak a sok szabadságfokkal rendelkező dinamikai rendszereknél -- amelyekkel a statisztikus mechanika foglalkozik -- érvényes, hanem már olyan egyszerű modellnél is, mint például Hadamard két szabadságfokú példája. Ilyen esetekben a mozgás nagy érzékenysége, az állapotfolyadék gyúráshoz hasonló mozgásában fellépő keveredés és az állapottér felhasználható részének véges nagysága olyan mozgásokat hoz létre, amelyek megkülönböztethetetlenek egy valószínűségszámítással modellezett mozgástól. Ezen tulajdonságok együttes jelenléte hozza létre a mozgás kaotikusságát.
A második meglepetés
Majdnem harminc évvel Hadamard nagy felfedezése után, 1925-26-ban megszületett az új mechanika -- a kvantummechanika -- Heisenberg, Dirac és Schrödinger munkássága nyomán.
A klasszikus mechanika képtelen volt leírni azokat a jelenségeket, amelyek az atomban játszódnak le. Még azt sem tudta megmagyarázni, hogy miért nem képes a klasszikus elmélet ezt megtenni. Voltak erőfeszítések, hogy megpróbálják a régi klasszikus állapotképet használni, ad hoc szabályokkal fűszerezve. Ilyen pédául az állapottérnek a Planck által felvetett cellabeosztása (aminek eredményeként a Planck-állandó megszületett), vagy ilyenek Bohr szabályai, amelyek integrálható mozgásoknál csak bizonyos pályákat engedtek meg. Ezek a javítgatások azonban elégtelennek bizonyultak. Teljesen új szempont kellett.
Az új mechanika állapotleírása és állapottere teljesen megváltozott. Ez egy végtelen dimenziós tér lett, egy Hilbert-tér. Ebben az állapotot egy pont ábrázolja egy egységnyi sugarú gömb felületén. A magára hagyott rendszer mozgása ismét leírható ennek a pontnak a vándorlásával, és az összes lehetséges pontok mozgása megint egy állapotfolyadék áramlásának felel meg. Ez azonban teljesen más tulajdonságokkal bír, mint a klasszikus esetben. Egy pont mozgását most úgy is elképzelhetjük, hogy a kezdeti állapotot odaszögeljük a gömbfelületre, és a gömböt forgatjuk megfelelő módon ide-oda, a középpontja körül.
Következésképpen, a kezdeti állapotok relatív elhelyezkedése a gömbön nem változik az idővel! A klasszikus kaotikus mozgás alapmechanizmusa nem működik.
Ez önmagában nem okozna szükségképpen megdöbbenést. Végeredményben könnyen előfordulhat az, hogy egy korlátozottabban érvényes elmélet -- klasszikus mechanika -- olyan tulajdonságokkal bír, amelyek elvesznek egy helyesebb elméletben -- a kvantummechanikában. A helyzet azonban nem ilyen egyszerű.
A kvantum-statisztikus mechanika kitűnően funkcionál. Ám mi ennek az alapja? Mi a klasszikus statisztikus mechanika sikerét okozó érzékenységi és keverési mechanizmus analogonja? Ez az alapprobléma új kérdéseket vet fel.
Az új kérdések
1. A klasszikus mechanika megközelíthető a kvantummechanikából határátmenettel -- a szemiklasszikus közelítéssel --, amelyben a Planck-állandóval zérushoz tartunk. Mi történik akkor, ha ezt a határátmenetet egy olyan rendszeren visszük végbe, amelynek klasszikus mozgása kaotikus; milyen módon adódik vissza a kaotikus mozgás, midőn az eltelt idő a végetelenhez tart?
Azonnal látni lehet, hogy itt kettős határátmenettel állunk szemben: az idő a végtelenhez tart, míg a Planck-állandó zérushoz. Az eredmény általában attól függ, hogy milyen sorrendben végezzük a két határátmenetet. Jelenleg a helyes sorrendet csak megsejtéssel tudjuk kiválasztani. Én a következő feltevésben hiszek. A kvantummechanikai mozgásokban új karakterisztikus időskálák lépnek fel, amelyek függnek a Planck-állandótól. Olyan mozgási időtartamok alatt, amelyek ennél kisebbek, a klasszikus és kvantummechanikai mozgás teljesen különböző lehet. Minthogy ezek az új karakterisztikus időskálák a végtelenbe tartanak -- ahogy a Planck-állandó zérushoz tart --, a klasszikus határesetben már nem látjuk meg ezt az eltérést. Így érthető, hogy a klasszikus határeset miért lehet kaotikus annak ellenére, hogy a klasszikus káoszt létrehozó mechanizmus nem működik a kvantummechanikában.
2. Meg kell azonban tudnunk, hogy hol rejtőznek a véges időben létrejövő kvantummozgásokban a klasszikus kaotikus mozgások ujjlenyomatai. A kvantummechanikai mozgás egyszerűsége (a gömbforgatás) annak a következménye, hogy az általános megoldást stacionárius megoldások összegével lehet kifejezni. Tehát ezeknek az információknak már valahol a stacionárius megoldásokban jelen kell lenniük.
Hogy hol és miként, annak óriási irodalma van. Ebből csak két érdekes megfigyelést említek meg. a) A stacionárius megoldásokhoz tartozó energianívók eloszlásában fellépő fluktuációk különböznek aszerint, hogy a klasszikus rendszer kaotikus vagy nem.
b) A stacionárius megoldások helytől való függésében úgynevezett "sebek" lépnek fel, amelyeket a szemiklasszikus állapotfüggvényekben a klasszikus pályák tudnak okozni.
3.Az időtől való függés említett egyszerűsége -- ami tönkreteszi a klasszikus káosz mechanizmusát -- az alapegyenletek linearitásának a következménye. Vajon nem okozhat-e ez a linearitás máshol olyan jelenségeket, amelyek helyettesíthetnék a kezdeti értéktől való függés elveszett érzékenységét?
A linearitás legpregnánsabb következménye az interferenciajelenségek léte, és azoknak a fázisoktól való rendkívüli érzékenysége. Vannak-e különbségek a kvantummechanikában fellépő interferenciajelenségekben attól függően, hogy a klasszikus rendszer kaotikus vagy nem? A válasz nem ismeretes.
4. Eddig az állapotoknak csak azzal az időbeli változásával foglalkoztunk, amely a klasszikus, determinisztikus időváltozásnak a megfelelője. A kvantummechanikában azonban nem lehet de facto figyelemmel kísérni az állapotváltozást mérés nékül. Ugyanakkor a mérőműszer hozzákapcsolása és a mérés eredményének megfigyelése irreverzibilis módon megváltoztatja a rendszer állapotát. Ennek részletes leírása a kvantummechanikán belül ma még mindig vitatott. Az új állapot már csak a mérőműszer tulajdonságát tükrözi. A rendszer eredeti állapota csak a mért eredmény értékének valószínűségét befolyásolja, de nem az új állapotát. Felmerül tehát a kérdés, hogy vajon a mérés által létrehozott kvantummechanikai következmények milyen módon függnek attól, hogy a rendszer klasszikusan leírt mozgása kaotikus-e vagy sem?
Gondolok itt különösen a következő problémákra. Van-e a káosznak különleges szerepe a) abban, hogy milyen mennyiségek mérhetők; b) abban, hogy a mérés nem lokális kapcsolatokat tud létrehozni; c) az állapotoknak a mérés által létrehozott, úgynevezett összefonódásában (entanglement)?
Ezeknek a kérdéseknek az ihletője a matematika. Azonban nem szabad elfelejtenünk, hogy a fizika végül is kísérleteken alapul. Léteznek valóban kísérletek, amelyek ilyen kérdésekkel foglalkoznak. Sajnos nem az alapkérdésekkel; minthogy nyílt rendszereket és azok szemiklasszikus állapotait tanulmányozzák, például hidrogénatomok ionizációját külső, időben változó terek hatására.
Nagy szükség lenne olyan zárt rendszereket vizsgálni, amelyel klasszikusan kaotikusak, azonban olyan állapotokban vannak, amelyekben erős kvantummechanikai hatások uralkodnak, tehát távol bármi szemiklasszikus közleítés lehetőségétől. Nem ismerek ilyen kísérleteket.
Összefoglalás
A klasszikus mechanikában sikeresen elértük a dinamikai rendszerek leírásának részletes osztályozását és megértettük azokat a mechanizmusokat, amelyek ezeket léltrehozzák és a hozzájuk tartozó diagnosztikai segédeszközöket. Tudjuk pontosan, hogy miről beszélünk, ha azt mondjuk, hogy egy klasszikus rendszer mozgása kaotikus. A kvantummechanikában teljesen más a helyzet! Ott két különböző időbeli fejlődése lehet egy rendszer állapotának. Az a fejlődés, amely a klasszikus fejlődés analogonja -- és amelyet időtől függő Schrödinger-egyenlet ír le --, nem képes a klasszikus kaotikus mozgások megfelelőjét létrehozni. A másik időben változó mozgás, amely a mérés által történik, részleteiben még ma is vitatott. Így tehát nem tudjuk egyáltalán tanulmányozni, hogy ott milyen különbségek léphetnek fel aszerint, hogy a mérendő rendszer vagy a mérőműszer, klasszikusan leírva, kaotikus mozgást végez-e vagy sem.