Káoszelmélet
-
asd2100 #1 A determinizmus kanonikus formáját Newton vezette be a fizikába már több mint háromszáz éve. Ez a következőképpen működik. Egy rendszernek van egy állapota; ha ezen állapotot meghatározó paraméterek értékeit -- tehát azok kezdeti értékeit -- ismerjük egy időpontban, akkor a mozgásegyenletek meghatározzák az új állapotot, megadván a változó paraméterek új értékeit. Ez a determinizmust mint kezdetiérték-problémát kodifikálja. A kezdeti állapotból egyértelműen előre kiszámíthatók az ebből később kifejlődő állapotok.
Tehát a) nem tettünk különbséget determinizmus és előre kiszámíthatóság, a predikció között; b) a determinizmus a predikció által automatikusan beépült a fizikába, ugyanis egy elmélet minősége annak előreszámítási képességétől függ.
Maga a matematikai leírás geometriai kép segítségével szemléletesen ábrázolható. Az állapotot az absztrakt állapottérben egy pont jelöli ki (a dinamikában ezt a teret fázistérnek nevezzük.) Ahogy pereg az idő, ez a pont vándorol az állapottérben, görbét -- utat -- húzva maga után. Az utak nem metszhetik egymást, mert akkor a metszéspont által ábrázolt állapot két különböző kezdeti állapotból is keletkezhetett volna, ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy a kezdeti állapot egyértelműen határozza meg a végállapotot. A lehetséges kezdeti állapotokat ábrázoló pontsereg összesége folyadékot alkot az állapottérben. Ezért az állapotok fejlődését úgy is szemlélhetjük, mint ennek az állapotfolyadéknak az áramlását. Ezáltal a mozgásegyenletek lehetséges megoldásait úgy tudjuk értelmezni, mint különböző folyadékmozgásokat, és így már kvalitatív megértésre is mód nyílik, akár az egyenletek részletes megoldása nélkül.
Mondanom sem kell, hogy a mozgások ilyen leírásának hihetetlen sikere volt (és van) mind elvben, mind gyakorlatban. Kidolgozásához olyan géniuszok neve fűződik, mint Laplace, Legendre, Hamilton, Jacobi és sokan mások. Ez irányú munkásságuk a matematika legszebb lapjai közé tartozik ma is. Ennek segítségével írjuk le a bolygók mozgását a Naprendszerben, akárcsak az űrhajókét vagy a biliárdgolyókét a biliárdasztalon.
A váratlan meglepetés
Majdnem száz éve, 1897/98-ban, váratlan villámcsapás ütött be. Jaques Hadamard, a zseniális francia matematikus meglepő eredményre jutott. Tömegpontok szabad mozgását tanulmányozta olyan zárt felületeken, melyeknek görbülete minden pontban negatív és azonos. (Így minden pontjuk nyeregpont, ezért nem is könnyű ezeket mint a háromdimenziós euklideszi térbe beágyazott felületeket elképzelni. Ha a görbület minden pontban azonos, de pozitív, csak egy ilyen felület létezik: a gömbfelület. Negatív görbület esetén azonban végtelen sok ilyen felület van.)
Hadamard a következő eredményre jutott. Képzeljünk el két pályát. Ezek úgy jönnek létre, hogy az egyik pálya kezdeti adatait parányival megváltoztatjuk, ez lesz a másik pálya. Azt találta, hogy ez a két pálya rohamosan eltávolodik egymástól, és rövid idő múltán semmi hasonlatosságot nem mutat. Minthogy egy véges felületen nem tudnak teljesen elszökni egymástól, egyre kompilkáltabb mozgásokat fognak végezni, hogy egyre növeljék egymás között a távolságot. Tehát a mozgás hihetetlenül érzékeny a kezdeti állapot megváltozására, vagy a kezdeti állapot megadásában rejlő hibára. (Ezt a hibát úgy is lehet értelmezni, mint a kezdeti hely eltolódását.) A nyeregpont azután destabilizálja a mozgást, és ezáltal felnagyítja a kezdeti állapot megadásában rejlő lehetséges hibát. Tehát egy parányi ok óriási okozatot tud létrehozni. Idézem Hadamard-t (1):
"... ha ez így van, akkor érdemes megjegyezni, hogy az égi mechanika egyik alapproblémája -- a Naprendszer stabilitása -- elveszti értelmét, még absztrakt megfogalmazásában is, amikor pont mozgását vizsgáljuk a newtoni gravitációs vonzás következményeként.
Természetesen, ha a rendszer meghatározott erők hatása alatt fejlődik, és ha a kezdeti állapot matematikai precizitással van megadva, akkor a későbbi mozgás és annak tulajdonságai is meghatározottak, még ha az idő a végtelenhez tart is. Az asztronómiában azonban nem ez a helyzet! Ott az adatok, amelyek a mozgást meghatározzák, nincsenek matematikai precizitással megadva, hanem csak fizikai precizitással, tehát hibával, amely csökkenthető, de meg nem szüntethető.
Amennyiben mi a mozgást csak egy véges időn át követjük, legyen az bármily hosszú is, elképzelhető, hogy a kezdeti adatokban rejlő hiba annyira csökkenthető, hogy az már nem befolyásolja jelentősen a pályát. A fenti eredmény azonban azt mutatja, hogy nem juthatunk erre a következtetésre a pálya végső elrendezésénél. Ez függhet, mint jelen esetben, az integrációs állandók nem folytonos aritmetikai tulajdonságaitól."
Hadamard tehát egy új és váratlan lehetőséget fedezett fel. Léteznek olyan mozgások, melyek determinisztikusak, de előre meg nem mondhatók. Megszületett az, amit ma kaotikus mozgásnak nevezünk!
A klasszikus káosz
Hogan tudjuk átlátni, mi történhetett? Poincaré vetette fel az ötletet, hogy a mozgások kvalitatív analízisét az állapotfolyadék mozgásának kvalitatív analízise révén tanulmányozhatjuk. A következő kép alakul ki.
Sok esetben, mint például a bolygók mozgásánál, az állapotfolyadék simán áramlik, mint lassú folyam a medrében. Ezek az úgynevezett integrálható mozgások. A kaotikus mozgásoknál azonban nem ez a helyzet. Ott az állapotfolyadék úgy viselkedik, mint mint gyúrás közben a tészta. Az idealizált háziasszony kigyúrja a tésztát vékonyra, majd darabokra vágja, a darabokat egymásra rakja és újra kigyúrja. A káoszt létrehozó mechanizmus ugyanezt utánozza. A gyúrás során az állapottészta egy irányban vékonyodik, a másik irányban kiterjed; a felvágás és egymásra rakás pedig újra és újra megkeveri az állapottészát. (Ezt az irodalom "pék-transzformációnak" nevezi - szerk.) A masszában az egymáshoz közel fekvő pontok (állapotok!) a gyúrás miatt távolodnak, míg a felvágás és egymásra rakás következtében összekeverednek. Így sorsuk egymástól teljesen függetlenné válik, ellentétben a simán áramló folyóval.
Poincaré programjának folytatása a matematika egy új területét, a dinamikus rendszerek elméletét hozta létre. Nagy sikerei közé tartozik -- többek között -- a különböző lehetséges mozgások részletes matematikai osztályozása és tanulmányozása. Itt olyan nevekkel találkozunk, mint Birkhoff, Hopf, Smale, Milnor és sokan mások.
E megfigyelések és munkák többel is szolgáltak, mint csupán matematikai meglepetéssel, szépséggel és eleganciával. Egyben választ adtak egy hosszan zaklató kérdésre, és az e a válasz létrehozta annak a statisztikus mechanikának a megalapozását, amely a mindennapos, makroszkopikus világgal foglalkozó fizika nagy részét tartalmazza.
A statisztikus mechanika valószínűségi számításokon alapul. Már annak megalapítóiban -- mint Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Poincaré, Einstein és Smoluchowski -- felmerült annak a kérdése, hogy miképpen lehet valószínűségi számításoknak bármi helye egy determinisztikus fizikában?
A dinamikai rendszerek modern elmélete megadja erre a választ, és bebizonyítja, hogy az a megsejtés, amelyre Maxwell és Boltzmann alapította magyarázatát (az ergodikus hipotézis), valóban érvényes a kaotikus mozgásokra. Sőt, nemcsak a sok szabadságfokkal rendelkező dinamikai rendszereknél -- amelyekkel a statisztikus mechanika foglalkozik -- érvényes, hanem már olyan egyszerű modellnél is, mint például Hadamard két szabadságfokú példája. Ilyen esetekben a mozgás nagy érzékenysége, az állapotfolyadék gyúráshoz hasonló mozgásában fellépő keveredés és az állapottér felhasználható részének véges nagysága olyan mozgásokat hoz létre, amelyek megkülönböztethetetlenek egy valószínűségszámítással modellezett mozgástól. Ezen tulajdonságok együttes jelenléte hozza létre a mozgás kaotikusságát.
A második meglepetés
Majdnem harminc évvel Hadamard nagy felfedezése után, 1925-26-ban megszületett az új mechanika -- a kvantummechanika -- Heisenberg, Dirac és Schrödinger munkássága nyomán.
A klasszikus mechanika képtelen volt leírni azokat a jelenségeket, amelyek az atomban játszódnak le. Még azt sem tudta megmagyarázni, hogy miért nem képes a klasszikus elmélet ezt megtenni. Voltak erőfeszítések, hogy megpróbálják a régi klasszikus állapotképet használni, ad hoc szabályokkal fűszerezve. Ilyen pédául az állapottérnek a Planck által felvetett cellabeosztása (aminek eredményeként a Planck-állandó megszületett), vagy ilyenek Bohr szabályai, amelyek integrálható mozgásoknál csak bizonyos pályákat engedtek meg. Ezek a javítgatások azonban elégtelennek bizonyultak. Teljesen új szempont kellett.
Az új mechanika állapotleírása és állapottere teljesen megváltozott. Ez egy végtelen dimenziós tér lett, egy Hilbert-tér. Ebben az állapotot egy pont ábrázolja egy egységnyi sugarú gömb felületén. A magára hagyott rendszer mozgása ismét leírható ennek a pontnak a vándorlásával, és az összes lehetséges pontok mozgása megint egy állapotfolyadék áramlásának felel meg. Ez azonban teljesen más tulajdonságokkal bír, mint a klasszikus esetben. Egy pont mozgását most úgy is elképzelhetjük, hogy a kezdeti állapotot odaszögeljük a gömbfelületre, és a gömböt forgatjuk megfelelő módon ide-oda, a középpontja körül.
Következésképpen, a kezdeti állapotok relatív elhelyezkedése a gömbön nem változik az idővel! A klasszikus kaotikus mozgás alapmechanizmusa nem működik.
Ez önmagában nem okozna szükségképpen megdöbbenést. Végeredményben könnyen előfordulhat az, hogy egy korlátozottabban érvényes elmélet -- klasszikus mechanika -- olyan tulajdonságokkal bír, amelyek elvesznek egy helyesebb elméletben -- a kvantummechanikában. A helyzet azonban nem ilyen egyszerű.
A kvantum-statisztikus mechanika kitűnően funkcionál. Ám mi ennek az alapja? Mi a klasszikus statisztikus mechanika sikerét okozó érzékenységi és keverési mechanizmus analogonja? Ez az alapprobléma új kérdéseket vet fel.
Az új kérdések
1. A klasszikus mechanika megközelíthető a kvantummechanikából határátmenettel -- a szemiklasszikus közelítéssel --, amelyben a Planck-állandóval zérushoz tartunk. Mi történik akkor, ha ezt a határátmenetet egy olyan rendszeren visszük végbe, amelynek klasszikus mozgása kaotikus; milyen módon adódik vissza a kaotikus mozgás, midőn az eltelt idő a végetelenhez tart?
Azonnal látni lehet, hogy itt kettős határátmenettel állunk szemben: az idő a végtelenhez tart, míg a Planck-állandó zérushoz. Az eredmény általában attól függ, hogy milyen sorrendben végezzük a két határátmenetet. Jelenleg a helyes sorrendet csak megsejtéssel tudjuk kiválasztani. Én a következő feltevésben hiszek. A kvantummechanikai mozgásokban új karakterisztikus időskálák lépnek fel, amelyek függnek a Planck-állandótól. Olyan mozgási időtartamok alatt, amelyek ennél kisebbek, a klasszikus és kvantummechanikai mozgás teljesen különböző lehet. Minthogy ezek az új karakterisztikus időskálák a végtelenbe tartanak -- ahogy a Planck-állandó zérushoz tart --, a klasszikus határesetben már nem látjuk meg ezt az eltérést. Így érthető, hogy a klasszikus határeset miért lehet kaotikus annak ellenére, hogy a klasszikus káoszt létrehozó mechanizmus nem működik a kvantummechanikában.
2. Meg kell azonban tudnunk, hogy hol rejtőznek a véges időben létrejövő kvantummozgásokban a klasszikus kaotikus mozgások ujjlenyomatai. A kvantummechanikai mozgás egyszerűsége (a gömbforgatás) annak a következménye, hogy az általános megoldást stacionárius megoldások összegével lehet kifejezni. Tehát ezeknek az információknak már valahol a stacionárius megoldásokban jelen kell lenniük.
Hogy hol és miként, annak óriási irodalma van. Ebből csak két érdekes megfigyelést említek meg. a) A stacionárius megoldásokhoz tartozó energianívók eloszlásában fellépő fluktuációk különböznek aszerint, hogy a klasszikus rendszer kaotikus vagy nem.
b) A stacionárius megoldások helytől való függésében úgynevezett "sebek" lépnek fel, amelyeket a szemiklasszikus állapotfüggvényekben a klasszikus pályák tudnak okozni.
3.Az időtől való függés említett egyszerűsége -- ami tönkreteszi a klasszikus káosz mechanizmusát -- az alapegyenletek linearitásának a következménye. Vajon nem okozhat-e ez a linearitás máshol olyan jelenségeket, amelyek helyettesíthetnék a kezdeti értéktől való függés elveszett érzékenységét?
A linearitás legpregnánsabb következménye az interferenciajelenségek léte, és azoknak a fázisoktól való rendkívüli érzékenysége. Vannak-e különbségek a kvantummechanikában fellépő interferenciajelenségekben attól függően, hogy a klasszikus rendszer kaotikus vagy nem? A válasz nem ismeretes.
4. Eddig az állapotoknak csak azzal az időbeli változásával foglalkoztunk, amely a klasszikus, determinisztikus időváltozásnak a megfelelője. A kvantummechanikában azonban nem lehet de facto figyelemmel kísérni az állapotváltozást mérés nékül. Ugyanakkor a mérőműszer hozzákapcsolása és a mérés eredményének megfigyelése irreverzibilis módon megváltoztatja a rendszer állapotát. Ennek részletes leírása a kvantummechanikán belül ma még mindig vitatott. Az új állapot már csak a mérőműszer tulajdonságát tükrözi. A rendszer eredeti állapota csak a mért eredmény értékének valószínűségét befolyásolja, de nem az új állapotát. Felmerül tehát a kérdés, hogy vajon a mérés által létrehozott kvantummechanikai következmények milyen módon függnek attól, hogy a rendszer klasszikusan leírt mozgása kaotikus-e vagy sem?
Gondolok itt különösen a következő problémákra. Van-e a káosznak különleges szerepe a) abban, hogy milyen mennyiségek mérhetők; b) abban, hogy a mérés nem lokális kapcsolatokat tud létrehozni; c) az állapotoknak a mérés által létrehozott, úgynevezett összefonódásában (entanglement)?
Ezeknek a kérdéseknek az ihletője a matematika. Azonban nem szabad elfelejtenünk, hogy a fizika végül is kísérleteken alapul. Léteznek valóban kísérletek, amelyek ilyen kérdésekkel foglalkoznak. Sajnos nem az alapkérdésekkel; minthogy nyílt rendszereket és azok szemiklasszikus állapotait tanulmányozzák, például hidrogénatomok ionizációját külső, időben változó terek hatására.
Nagy szükség lenne olyan zárt rendszereket vizsgálni, amelyel klasszikusan kaotikusak, azonban olyan állapotokban vannak, amelyekben erős kvantummechanikai hatások uralkodnak, tehát távol bármi szemiklasszikus közleítés lehetőségétől. Nem ismerek ilyen kísérleteket.
Összefoglalás
A klasszikus mechanikában sikeresen elértük a dinamikai rendszerek leírásának részletes osztályozását és megértettük azokat a mechanizmusokat, amelyek ezeket léltrehozzák és a hozzájuk tartozó diagnosztikai segédeszközöket. Tudjuk pontosan, hogy miről beszélünk, ha azt mondjuk, hogy egy klasszikus rendszer mozgása kaotikus. A kvantummechanikában teljesen más a helyzet! Ott két különböző időbeli fejlődése lehet egy rendszer állapotának. Az a fejlődés, amely a klasszikus fejlődés analogonja -- és amelyet időtől függő Schrödinger-egyenlet ír le --, nem képes a klasszikus kaotikus mozgások megfelelőjét létrehozni. A másik időben változó mozgás, amely a mérés által történik, részleteiben még ma is vitatott. Így tehát nem tudjuk egyáltalán tanulmányozni, hogy ott milyen különbségek léphetnek fel aszerint, hogy a mérendő rendszer vagy a mérőműszer, klasszikusan leírva, kaotikus mozgást végez-e vagy sem.