Elméleti fizika - Elektrodinamika, Elméleti mechanika, Kvantumfizika
-
szabiku #272 "Tehát a T tenzor csak egy komplikált érték, és csak a kv = T x tv képletben a leképzés a tenzorral az operátor szerűség." Így van. A (véges dimenziós (vektor)terekben ható lineáris) leképezések lehetőségei közül (melyek (szintén) teret alkotnak -> lineáris leképezések tere) a T másodrendű tenzor (a másodrendű tenzortér egy eleme ->) értéke (mely tetszőleges ortogonális bázis(ok -> a tárgyvektor bázisrendszere és a képvektor bázisrendszere) alapján mátrix alakban számszerűsödik) választja ki valamelyiket. Érzékelhető a mondatból, hogy a (...) lineáris leképezések tere azonosítható (ha erre van éppen szükségünk) a másodrendű tenzor terével.
"... szerinted hogyan jelöljük ezt a kettősséget, ..." Nem kell erre különleges jelölést kitalálni, mert nincs annyi szimbólum a világon, hogy mindenre egyértelmű külön jelölést találjunk. Az alkalmazás témaköre (mint pl. a szövegkörnyezet) az értelmezést úgyis megadja. Mondjuk az első fejezetekben definíciószerűen, vagy ha nem az alapokat tárgyalja, akkor az a témakörből adódóan egy már megszokott (több is lehet) szintaxist (képletekbeni jelölésmódot) használ. Pl. a kvantummechanika matematikai tárgyalásának szintaxisai.
Egyszerűbben a kv = T x tv általad felírt leképezést így is felírhatjuk: k = Tt ahol a k a képvektor, t a tárgyvektor, T egy operátor (a leképezés operátora), ami (megállapodásszerűen) jobbra hat. A T operátort kifejezhetjük (megadhatjuk) mátrix alakban tetszőleges ortogonális bázisrendszer szerint. Feynman-féle bra-ket jelölésekben: Tmn = <m|T|n> Itt az <m| bravektorok a képtér M bázisrendszerének egységvektorainak duálisa, az |n> ketvektorok pedig a tárgytér N bázisrendszerének egységvektorai. A k és t (ket)vektorok mátrix alakja a saját terük tetszőleges ortogonális bázisrendszere alapján: km = <m|k> és tn = <n|t> Ezek alapján a k = Tt képlet mátrixalakban: km = Tmntn ami bra-ket jelölésekben: <m|k> = <m|T|n><n|t> ahol |k> a képvektor, |t> a tárgyvektor, és a T (jobbra ható) operátor egy alkalmazott tenzor (így együtt, vagyis tenzoralkalmazás). Maga a tenzor kifejezhető a tárgytér és képtér tetszőleges A ill. B bázisrendszerének |a> ill. |b> egységvektorainak |a>⊗|b> diadikus (azaz tenzor)szorzatának valamilyen (azaz a T-hez tartozó leképezést adó) lineáris kombinációjaként. |a>⊗|b> = |a>|b> = |ab> amiből látszik a tenzor magasabb rendű vektor jellege. Tehát maga a tenzor lineáris kombinációval: Tab|ab> = Tab|a>|b> A (bi)lineáris leképezésre alkalmazása, vagyis az e szerinti operátorosítása: Tab|a>|b> -> T = Tba|b><a| Ellenőrzésképpen alkalmazzuk rá a másik (vagyis az M ill. N) bázisrendszer szerinti kifejtést: <m|T|n> = <m|Tba|b><a|n> = <m|b>Tba<a|n> = <m|I|b>Tba<a|I|n> = ImbTbaIan = Tmn ahol I az 1-nek megfelelő identitás operátor. Látható, hogy minden stimmel, hiszen megkaptuk a fentebbi Tmn = <m|T|n> összefüggést.