physis#104
A kérdező Staar Gyula, a meginterjúvolt matematikus pedig Lovász László (Staar 2002: 33, kiemelések általam):
— Vannak-e örökké tartó sejtések?
— Könnyen elképzelhető, hogy vannak ilyenek.
— Kérlek, próbálj egy ilyet megsejteni.
— Attól tartok, ezek a kevésbé érdekes sejtések közül kerülnek ki. Fermat-prímeknek nevezik azokat prímszámokat, amelyek eggyel nagyobbak kettő olyan hatványainál, ahol a hatványkitevő maga is kettő hatványa. Tehát: 2² + 1 = 5, 2⁴ + 1 = 17, 2⁸ + 1 = 257... Kiderült, hogy ezek közül az első néhány még prím, a többi már nem.
Különböző megfontolások alapján azt várjuk, hogy nem lesz közöttük prímszám, vagy ha igen, akkor is csak véletlenségből, egy-kettő. Az így előállított számok ugyanis igen gyorsan nőnek, és bár végtelen sok prímszám van, a nagy számok között egyre ritkábban vannak prímek. Ezért nagyon nagy számok között valószínűtlen, hogy Fermat-prímeket találjunk. Várakozásaink szerint tehát nincs végtelen sok Fermat-prím. A sejtésben megfogalmazott várakozás egészen természetes, valószínűleg igaz, de nem biztos, hogy kézzelfogható oka van. Könnyen lehet, hogy ez olyan sejtés, amelyre nem lehet bizonyítást találni.
Egy szó megragadta a figyelmemet Lovász László megfogalmazásából:
,,.. vagy ha igen, akkor is csak véletlenségből, egy-kettő. ... A sejtésben megfogalmazott várakozás egésze természetes, valószínűleg igaz, de nem biztos, hogy megfogalmazható oka van''
Az ,,ok'' (és a ,,véletlenségből'') fogalmát általában a fizikában szoktuk használni, nem pedig a matematikában (a matematika túl ,,anyagtalan!! ahhoz, hogy fizikai értelemben okról beszélhessünk). Persze lehet, hogy Lovász László egyszerűen csak annak szinonimájaként használta az ,,ok'' szót, hogy ,,van bizonyítása''. De az sem lehetetlen, hogy ennél általánosabban használja ezt a fogalmat, hiszen nem hivatkozik egy konkrét axiómarendszer szerinti bizonyításra, hanem általánosságban beszél bármiféle bizonyítás lehetőségéről vagy lehetetlenségéről). Ezt a kontextust nem tudom. Pl. az ember intuitíven el tudja képzelni, hogy a Pitagorasz-tételnek ,,oka van'', miután már az ötödik bizonyítást értette meg (szellemes átdarabolások, hasonlóság stb.), több különböző ,,mögöttes elmélet'' alapján is be lehet látni.
___________________________________
Staar Gyula (2002). Matematikusok és teremtett világuk. Beszélgetések. Budapest: Vince.