• physis #27
    A dolog jelentőségén én is gondolkodtam, de nem annyira a gyakorlati hasznosságán, hanem a matematikafilozófiai jelentőségén.

    Mi a matematika?

    Arról, hogy mi is a matematika, sokan gondolkodtak már. Egyáltalán, tulajdonképpen ,,hol leledzik'' maga a matematika? Talán az univerzumban van egy hely, ahol a matematikai fogalmak ,,ott vannak'', mint ahogy előttem ez az asztal terpeszkedik?

    Vagy, ha nem is a tényleges univerzumban, de van-e egy másik világ, ahol a matematikai objektumok ,,ott vannak''? Ez az utóbbi kép nagyon vonzó, szemléletessége miatt is, meg azért is, mert a gyakorló matematikusnak tényleg kialakul egy olyan intuitív érzése, mintha ténylegesen maga előtt ,,látná'' a matematikai fogalmakat, tételeket. Szóval ez igen elterjedt matematikafilozófiai megközelítés, a platonizmus (angolul itt).

    Nem-platóni matematikafilozófiák

    Azonban vannak más, nem-platonista megközelítések is. A marxizmus szerint a matematika ez emberi munka révén jött létre a ,,piszkos'' valós világból, abból való elvonatkoztatással. Sok ehhez hasonló megközelítés létezik. Más nézetek szerint a matematika az emberi agy természetéhez kötődik, és nem is tekinthető valamiféle univerzális dolognak, ami minden földönkívüli intelligenciának ugyanaz lenne. (ld. Pierre Changeux, idézve Allégre, Claude: Bevezetés a természettörténetbe c. könyvében, egy másik hasonló megközeltés pedig itt olvasható online, lényegében az intuicionizmus egy modernebb formája).

    Sajnos mindezeket nem is értem pontosan. Ami miatt megemlítem mindezt: Neumann János mondott egy különös dolgot, ami szerintem nagyon ide illik.

    Le lehet-e valaha zárni a matematikát?

    Régóta eszembe jutott az a kérdés, végtelen-e a matematika. Mi lesz, ha egyszer felfedezik az összes matematikai tételt, fogalmat, és onnantól kezdve megszűnnek az új kérdések: új frontvonalak többé nem nyílnak a matematikában. Viták legfeljebb arról lesznek, hogyan tudják a tanárok minél kellemesebben és módszeresebben tanítani a matekot, vagy a mérnökök minél eredményesebben alkalmazni a matematikát, de maga a matematika mint alakuló, fejlődő tudomány immár megszűnnék létezni. Ugyanolyan lezárt tudománnyá válnék, mint a gályaépítés vagy a piramisépítés tudománya meg ezek az ókori dolgok, nem tenne már senki újat hozzá.

    Formális lezárhatatlanság

    Ezt a kérdést egyszer feltettem matematika logika órán, és azt a választ kaptam, hogy a Gödel-tétel egyik következménye az is, hogy a matematika sohasem válhatik lezárt tudománnyá.

    Megtermékenyítő hatás

    Azonban ez a választ talán még nem teljesen válaszolja meg ez eredeti kérdést. Hiszen a matematika más módon is válhatik lezárt tudománnyá, nemcsak úgy, hogy elvileg ne lehetne többé több tételt felfedezni.

    Mert attól még, hogy elvileg még végtelen sok új tételt fel lehet fedezni, attól még elképzelhető lenne, hogy azok egyre érdektelenebbé válnak, elapad az új frontvonalakat nyitó innováció a matematikában. Vagyis: elképzelhető olyan világ, amelyben az elvi végtelen lehetőség ellenére sem születnének új tételek a matematikában, mert azok mind érdektelenek, természettudományos értelemben haszontalanok, filozófiai jelentőségük sincs, és semmiben sem kötődnek semmihez, amit emberi értelemben bármiképp is érdekesnek neveznénk. Szóval olyanok, mint valami géppel generált, terjengős állításhalmazok, esetleg több millió karakter hosszúak, és véletlenül éppen ,,pont'' igazak, esetleg levezethetőek is, de semmi érdekességük nincsen.

    Safarevics: Algebra könyvének pont erről szól a bevezetője. Azt írja, hogy helytelen lenne az algebrát egyszerűen csak a struktúrák tudományának tekinteni. Minden objektumorientált programozó tudja, hogy struktúrát annyit lehet teremteni, amennyit csak akarunk. Adatbázis-tervezéskor teljesen esetleges struktúrák millióival találkozunk: minden egyes tábla az, a maga ,,anyja neve'', meg ,,biztosított kódja'' mezőivel. De az, hogy egy struktúra érdekes-e (matematikai szempontból), az már más kérdés.

    Safarevics szerint az algebra lényege épp az, hogy az elvileg lehetséges struktúrák csillagászati tömegéből miért és hogyan választódik ki az a kevés struktúra, amit a matematikai közösség érdekesnek és jelentősnek tart. Az elvileg lehetséges, érdektelen struktúrák irdatlan kozmikus tömegében egymástól csillagászati távolságban elszórva szomorkodnak a valóban érdekes struktúrák. Eézrt aztán Safarevics meglepően sok fáradságot és oldalt szán arra, hogy a fogalmak fejlődését megmutassa, motivációjukat, mi mögött mi volt az ösztönző erő, milyen szemléleti vagy akár fizikai megfontolások segítették az egyes fogalmak kiválasztását, megválasztását.

    Most térek rá Neumann egy számomra meglepő kijelentésére (ld. főleg a linkelt oldal alján). Neumann azt mondja, hogy a matematika a természettudományokból, fizikából, esetleg más tudományokól, általánosabban szólva magából a való világból nyeri az ihletet. Ha valamiért a természettudományok (és más tanulmányok) megszűnnének fejlődni, akkor a matematika fejlődése is leállna. A Gödel tétel ugyan továbbra is biztosítaná az elvi lehetőséget a matematika végtelen továbbfolytatására, de a valóságban hiányoznának maguk azok az új gondolatok, amelyek motiválnák a matematika továbbfejlődését. Egyszóval: a matematika ,,elbarokkosodnék''.

    Ez a cikk a Mandelbrot-halmaz térbeli megfelelőjéről

    Mindezt azért említettem meg itt, mert ha White, Nylander és Turner elképzelése bejön, akkor az sokban igazolja Neumann gondolatait. Hiszen White, Nylander és Turner sem a formális elméletből indult ki (írja is, hogy az még nincs is meg), hanem valamiféle esztétikai cél vezérli őt, vagy legalábbis a szemlélet. Szeretnék, ha a Mandelbrot halmaz ,,térbeli megfelelőjét'' megkapnánk, de az már esztétikai dolog, hogy milyen értelemben is tekintünk valami a Mandelbrot halmaz valóban ,,méltó'' térbeli megfelelőjének. Legalábbis egyelőre úgy tűnik számomra.

    Azonban nem lehetetlen, hogy a tudós, miközben ilyen esztétikai célból indul ki, mégiscsak fel fog fedezni valami matematikai szempontból is érdekes elméletet.

    Márpedig ha ez tényleg bejön neki, ekkor az szép példája lesz annak, hogy a matematika fejlődése valóban ,,eredetileg'' mindig szemléleti,t ermészettudományos vagy más ,,külső'' hatásokra kapja a kezdő indítólökést, ugyanakkor viszont abból kiindulva már saját törvényei szerint fejleszti tovább a dolgot.