physis#182
Köszönöm az észrevételt és a segítséget, figyelni fogok rá, hogy nem maradjon benne ez a hiba, ha továbbírom a szöveget.
Egész pontosan azt akartam írni, hogy szerintem a javaslatodban sugallt szemlélet mögött helyes tartalom áll, ugyanakkor úgy sejtem, hogy KillerBee és N3whous3 is pontos, jól meghatározott és korrekt dologra gondolt: valószínűleg a komplex számok rendezett-páros (esetleg: mátrixos) modelljére. Ezek technikailag valóban nem a valós számok bővítéseként építik fel a komplex számokat. Amennyiben mégis annak tekinthetők, az inkább utólagos belátás, semmint a konstrukció által közvetlenül sugallt dolog.
A komplex számokat általában úgy szokták tanítani, hogy valós számpárok között előírnak műveleteket:
az (a,b) + (c,d) szorzatot definiáljuk úgy, hogy (a+c, b+d)
az (a,b) * (c,d) szorzatot definiáljuk úgy, hogy (ac-bd, ad+bc)
és aztán be lehet látni, hogy néhány szép tulajdonság teljesül, meg hasznos, meg kapcsolata van a matematika sok más részével, meg fizikai alkalmazása is van.
Az (a, 0) alakú komplex számok épp úgy viselkedne (egymás között) a fenti műveletekre, ahogy a valós számok a (valós) összeadásra és szorzásra.
Azonban számomra úgy tűnik, ezt inkább utólag látjuk be, ez afféle utólagos belátás. Technikailag, didaktikailag a rendezett-páros, vektoros konstrukció nem azt sugallja, mintha a komplex számok a valós számok bővítéséből erednének. Szinte elölről definiálunk minden műveletet, és csak utólag látjuk be, hogy a rendezett párok pont úgy viselkednek ezekre a műveletekre, mint valami nagyobb struktúra, amelybe részstruktúraként beleágyazható a valós számok jólismert struktúrája is.
Olyan, mintha egy régi programot nem tudnék már továbbírni, ezért egy vadonatújat írnék, de utólag észrevenném, hogy az új program képes a régit is szimulálni. De ez csak utólagos bölcsesség lenne, mert ténylegesen nem a régi program továbbfejlesztéséből eredne az új, hanem egy teljes újraírásból. (Bár a régi program egyes részeit újrafelhasználnám, de a program egésze mégiscsak alapból újra lenne írva.)
A Te javaslatod viszont meg azért volt korrekt, mert valóban lehet olyan modellt is állítani a komplex számokra, amely valóban magát a valós számtestet bővítjük ,,egy i szimbólummal'', amelyre ,,alkalmas számolási szabályokat írunk elő''. A modern algebra fogalmai révén a Te elgondolásodat is teljesen precíz és korrekt alakba lehet önteni (polinomok, faktorgyűrű, ideál).
Szóval úgy sejtem, N3whous3 megközelítése és a Te megközelítésed egyaránt korrekt. Őszintén szólva nem tudom pontosan, mit is jelent mindez, amit itt fentebb összeírtam, ehhez valószínűleg az absztrakt algebrát meg a matematikai logikát jobban kellene tudnom.