physis#59
Bocsánat, félreérthető volt a válaszom szedése, és így összekeveredett a Te kérdéseidből vett szószerinti idézet a saját szövegemmel.
Vagyis amikor azt írtam,
Kis kitérő az alkalmazott matematikára: gyengének tartom a mai számábrázolást, ami érzékeny és nem elegánsan zárt. Nullával osztogatunk és jön a naaagy vigyázz felirat, tántorgunk a végtelen hallatán... Teljesen új alappal kellene próbálkozni, mert lehet, hogy a szivárgó matematikai számításokból fakadnak a fenti szörnyszülöttek.
akkor nem személyes véleményemet írtam le, hanem idézni akartam a kérdésedet, hogy látni lehessen, mire is válaszolok.
Úgy látszik, a <quote> makró nem rakja automatikusan idézőjelek közé a szöveget, azt manuálisan kell kitenni. Majd figyelek erre legközelebb.
A nullával való oszthatóság kérdése gyerekkoromban izgatott nagyon, később viszont kielégített az algebrai (#55) és a projektív geometriai (#52) megközelítés válasza. Nincs most rálátásom, hogy hozzátegyek ehhez bármit is, talán egyfajta trade-off teljesül: ha mindenáron kívánunk a nullával való osztásnak értelmet adni (és ez esetleg valami szellemes projektív geometriai megfontolás alapján esetleg plauzibilis módon sikerül is), akkor a test-tulajdonságok közül veszítünk el néhányat szükségszerűen. A ,,szám'' szónak nincs rögzített jelentése, a céltól függően többféle struktúra létezik.
Eddigi tudásom alapján nem emlékszem olyan helyzetre, ahol a matematikát sérülékennyé tehetné a nullával való osztás tilalma. Ott, ahol valamilyen szempontból könnyebbséget jelent bármi ilyesminek értelemet adni, ott valószínűleg úgyis bevezetnek egy külön a feladatra szabott konstrukciót, amelynek keretei között lehet dolgozni vele. El tudom képzelni, hogy megfelelően kidolgozott feladatkörön belül (valamiféle arányokkal kapcsolatos műveletek), valamiféle projektív geometriai konstrukció tömörebb formalizmust eredményez, de úgy tűnik, hogy ezt meg is tették, ahol értelme volt (Riemann gömb).
Most nem tudok belegondolni, de úgy sejtem, például olyan feladatkörök esetében van értelme bármi ilyesminek, ahol könnyebbséget jelent, hogy aránypárok esetében nullával is lehessen esetszétválasztás nélkül dolgozni (és tudjuk azt is, hogy a pár mindkét tagja nem lehet egyszerre nulla, például mert valami összefüggésnek, megszorításnak is kell teljesülnie rájuk, amiből ez is következik).
A nullával való osztás kérdése számomra igazán csak egy esetben merült fel feladatként az utóbbi évtizedben. Kíváncsi voltam, lehet-e úgy definiálni a számok fogalmát egy típusos funkcionális programnyelven (praktikus példa: Haskell, elméleti példa: típusos lambda-kalkulus), hogy a típusrendszer lehetőleg minél több nem-termináló (,,elszálló'') programot ki tudjon szűrni automatikusan. A Turing-teljesség feladása nélkül a cél bizonyíthatóan elérhetetlen, de kiváncsi voltam, hogy legalább az aritmetikai műveletek, pl. konkrétan a nullával való osztás kérdését ki lehetne-e szépen építeni. Azt hiszem, a kérdés inkább csak esztétikai szempontból merült fel, nem annyira az elméleti tisztázás igényével, és aztán nem is gondoltam végig a kérdést.
Mindenesetre, itt nem annyira értelmet adtam volna a nullával való osztásnak, hanem inkább a fordítási idejű automatikus kiszűrése volt a cél, bár valamiféle ontológiai értelemben ez is felfogható úgy, hogy értelmet ad neki.
OFF: Egyébként létezik olyan programnyelv, amely minden nemtermináló programot kiszűr fordítási időben, és a Turing-teljességből ,,lehetőleg keveset'' ad fel (tehát pl. az Ackermann-függvény megvalósítható, és Hanoi tornyait is le lehet programozni stb.). Ez a Charity, azért kezdtem foglalkozni vele, mert tetszett, hogy a kategóriaelmélet fogalmait annyira közvetlenül kiaknázza.
Kérdezted, hogy a ,,valós projektív egyenes'' esetében a kör belsejében levő pontok hogyan képződnek le az egyenesre. A válasz az, hogy szigorúan csak a körvonal pontjait értettem itt ,,kör'' szó alatt. A Riemann-gömb angol neve, a Riemann gömbhéj talán szebben kifejezi ezt a különbségtételt (azt hallottam, az orosz nyelven meg ,,okruzsnoszty'' és ,,krug'' külön szó van körre és körvonalra).