-
physis #52 Kedves Johnsmitheger,
Csak a ,,végtelen'' és a ,,nullával való osztás'' fogalmát érintő kérdésekhez tudok érdemben hozzászólni.
Kis kitérő az alkalmazott matematikára: gyengének tartom a mai számábrázolást, ami érzékeny és nem elegánsan zárt. Nullával osztogatunk és jön a naaagy vigyázz felirat, tántorgunk a végtelen hallatán... Teljesen új alappal kellene próbálkozni, mert lehet, hogy a szivárgó matematikai számításokból fakadnak a fenti szörnyszülöttek.
A végtelennel kapcsolatos problémák többféle módon, különféle kontextusokban isfelmerültek. Ennek megfelelően a matematika több olzan foglamat is alkotott, amelz valamely kontextusban a ,,végtelenség'' valamely aspektusét ragadja meg.
A halmazelmélet végtelenek egész seregét ismeri, ezek összehasonlíthatóak, van kisebb és nagyobb végtelen. A természetes számok kevesebben vannak, mint a valós számok, de -- meglepő módon -- ugyanannyian, mint az egész számok, sőt, létszámuk a racionális számok létszámával is megegyezik. Ez meglepő, hiszen pl. nem minden egész szám természetes szám, fordítva pedig igen. Ügyes trükkökkel ,,párokba állíthatóak'' a természetes és egész számok (sőt a természetes és racionális számok is). Az is bizonyítható, hogy semmiféle ügyes trükkel nem lehet párokba állítani a természetes számok és a valós számok sorát. Vagyis egyes végtelen halmazok elemei páronként egymáshoz rendelhetők, más végtelen halmazoknál ezt nem lehet megtenni. Előbbi esetben a két-két végtelen halaz ugyanazt a végtelent képviseli, utóbbi esetben az egyik egy kisebb, a másik pedig egy nagyobb végtelent.
Ugyanakkor, a matematika más fogalmakat is megalkotott a ,,végtelenség'' egyes aspektusainak megragadására, nemcsak a halmazelmélet (páronkénti megfelelésen alapuló) végtelenjeit (amelyek, hiába van több is van belőlük, mégiscsak egy közös megközelítés szüleményei).
A Te kérdésed valószínűleg a valós analízis végtelenfogalmára utal (javaslatod pedig ennek a ,,nemstandard analízis'' megközelítés alapján való kiépítésére). Ugyanakkor a nullával való osztás megközelítéséhez majd megint egy másik végtelenfoglamat kell elővennünk.
lehet, hogy a javaslatod más módokon is megragadható, nekem csak ezek jutottak eszembe.
Az analízis végtelenfogalma
Az analízis részben intuitív megközelítései
A mozgás leírása már az ókorban is érdekes problámákat vetett fel (Zénon paradoxonjai). Newton és Leibniz részben intuitiv fogalmak felhasználásával megalkotta a matamtikai analízist, azonban ezt sokáig olyan tudománynak tartották, amely különleges érzék kell: csak az elmélyedéssel megszerzett intuició vezette a matematikusokat abban, hogy mit szabad és mit nem szabad megtenni a számítások során. Olyan, mintha a sakk alapszabélyai nem lennének minden kezdő számára elsajátítható módon tömoren leírva, hanem az alapszabályok általkiszabott pontos keretek csak a nagymester számára válnék érzékelhetővé. Ekkor még hiányzott az analízis modern kiépítésének az a felbcsülhetetlen erénye, hogy az alapfogalmak és alapszabályok megtanulásával bárki ugyanolyan világosan tudhatja, mit szabad és mit nem megtenni, mint ahogy egy (akár kezdő) sakkjátékos is világosan láthatja, mi a megengedett és mi a szabálytalan lépés. A szabálytalan lépés felismeréséhez nem kell mesteri sakktudás, az alapok ismeretének nem feltétele a nagymesterré válással megszerzehető kifinomult intuició. De Newton idejében az analízis alapjai még nem voltak világposak: bár maga a tudomány létezett, a szükségességét belátták, problémákat vetettek fel, sok tételt kiépítettek, de például nem lehetett volna úgy pontról pontra megtanítani az analízis tudományát egy kezdőnek, mint a sakkot.
Klasszikus analízis
Később Weierstrass lényegében halmazelméleti fogalmak révén szilárd alapokra helyezte az analízist.
A kérdésed arra utal, hogy lehetne-e a végtelenség fogalmát magukba a számokba beépíteni. Ez a gondolat valóban termékenynek bizonyult később, de Weierstrass idejében még hiányoztak az ehhez szükséges logikai eszközök. Így nem is csoda, hogy Weierstrass egy egészen más utat követett. Nem közvetlenül próbálta meg tisztázni Newton, Leibniz ,,fluxió'' és ,,infinitezimális'' fogalmait, hanem eldobta ezeket. Nem magukat a számokat bővítette ki a ,,végtelenség'' és az ,,elenyésző kicsinység'' fogalmaival. A végtelenek elméletének ,,épületét'' szilárdan a számok elméletének ,,foldszintjére'' éítette rá, mint egy ,,emeletet''. Maguk a számok maradtak a jól ismert, jó öreg véges számok, akik mit sem tudtak arról, hogy végtelen és elenyésző menyiségek is léteznek. Ez utóbbiak fogalmai csak az ,,emeleten'' értelmezhetőek. Esetleg szemléltethetők konkrét konstrukciókkal is, de semmi esetre sem egyetlen konkrét számmal, hanem szellemes módon összerakva a jól ismert véges számok alkalmasan összeállított serege révén.
Nemstandard analízis
A XX. században a matematikai logika gyors fejlődése megteremtette az Általad javasolt megközelítést precíz kiépítését. Mi lenne, ha magát a számfogalmat bővítenénk úgy, hogy köztük végtelen nagy és elenyészően kicsiny mennyiségek is szerepet kapjanak? Ennek két előnye lehet:
* Mivel így a végtelennel kapcsolatos gondolatmenetek közvetlenül magukba a számokba lennének beleépítve, ezért talán olyan módon válik könnyebbé az analízisbeli problémák megragadása, mint ahogy egy olyen programnyelven is könnyebb programozni, amely közvetlen a nyelvben kínálja a programozás egyes fő problémáinak megrgadását. Objektumorientált módon is könnyebb programozni, mint szűz C-ben vagy gépi kódban.
* talán természetes módon is hajlunk arra, hogy afféle szemléletes képeket alkossunk analízisbeli problámák megragadására, mint ,,elenyészően kicsiny'', ,,végtelen nagy'', ,,ez a dolog tart/mozog/hajlik a másik dolog felé''. Ezt igazából talán pszichológusok, fejlődéskutatók, antropológusok, evolúciós biológusok tudnák megmondani. Úgy tudom, Newton-ék is ilyen szemléletes fogalmakat használtak. A nemstandard analízis révén megnyílt a lehetőség, hogy most végre tiszta alapokra helyezzük őket, és élvezzük előnyüket, a tisztaság és megalapozottság megtartása mellett.
Az igen kemény logikai eszközöknek köszönhetően sikeresen kiépített nemstandard analízis részben igazolja elvárásaidat, részben csalódást kelt ebben. A végtelen fogalmána (közvetlenül a számokba magukba beépített) megragadása könnyebbséget hoz, de nagyobb kifejezőerőt nem.
IGAZ,
hogy a nemstandard analízis valamilyen értelemben talán intuitivabban, szemláletesebben, az ember számára tömörebben ,,programozza le'' az analízisbeli problémákat.
NEM IGAZ,
hogy a nemstandard analízis többre lenne képes a hagyományosnál abban az értelemben is, hogy kifejezőereje nagyobb lenne, olyan tételeket is be lehetne bizonyítani vele, amire a hagyoményos analízis ne lenne képes. Csak annyit várhatunk el tőle, hogy esetleg könnyebben rájövünk egy megoldásra nemstandard módon, mint ahogy hagyományos módon rájönnénk.
Analógia: programnyelvek kifejezőereje
A dolgot a programnyelvek kifejezőerejéhez tudnám hasonlítani. A legtöbb programnyelv kifejezőerje azonos, hiszen többségük mind Turing-teljes, az egyiken megragadható problámák átfordíthatóak a másik nyelvre is (bár esetleg nehézkes, ronda kóddal). Azonban mégis vannak magasabb szintű, és alacsonyebb szintű programnyelvek. Azonban ezeknek nem a kifejezőerje különbözik, hanem a magasabb szintú programnyelveken képesek olyen módon felbontani a problémát, hogy az ember számára intuitív, kellemes tulajdonságok teljesülnek (pl. referenciális átláthatóság), helyességbizonyítás és tesztelés könnyúvé válik stb.
Képzeljük el, hogy megunja valaki az objektumorientált (sőt általában az imperatív) programozást, és áttér a funkcionális (vagy esetleg a logikai programozásra. Igaz, hogy a funkcionális programozás révén olyan ravasz módon is modulariálható a program, olyan módon is újrafelhasználható a kód, ahogy az az imperatív nyelveken elképzelhetetlen lenne. Ez vezethet ahhoz, hogy a szoftverfejlesztés munkája gyorsabbá válik, hogy a tesztelés könnyebb és részben jobban is automatizálható stb. De az már nem igaz, hogy funkcionális programnyelveknek lennének olyan előnyei, amelyek ezeken a (részben emberi) tényezőkön túlmutatnának: funkcionális nyelven sem oldható meg olyan probléma, amely (esetleg nehézkesebb, áttekinthetetlenebb kóddal) ne lenne megoldható imperatív nyelven.
Nullával való osztás
A nullával való osztás problámáját pedig megint egy más végtelenfogalom ragadja meg: többek között projektív geometriai eszközökkel lehet leírni.
![]()
A valós projektív egyenes szerintem jól megragadja az "1/0 mint előjel nélküli végtelen", avagy mint "mindkét iranyból elképzelhető végtelen távoli pont a számegyenesen" megközelítését, ennek komplex mgfelelője gyakorlati alkalmazással is büszkélkedhet, pl. a kvantummechanikéban is alkalmazott Riemann gömb is erre épül.
![]()
A Riemann-gömb ábráján szépen látszik a lényeg. Ha egy kör egyik átmérőjét meghosszabbítom mindkét irányba, amelyet számegyenesként tekintek, akkor egy természetes megfeleltetést kapok a körvonal pontjai és a számegyenes pontjai között. A kör ,,északi pólusát'' összekötve a számegyenes A pontjával, az összekötő egyenes még egy ponton metszeni fogja a kört. Tekintsük ezt az eredeti számegyenesbeli pont körbeli ,,megfelelőjének''. A számegyenes minden pontjának egyértelműen megfeleltethető egy pont a körön (és viszont). De a kör ,,északi pólusa'' minek lesz a megfelelője? Ha az északi pólushoz nagyon közeli pontoknak a pólushoz közelítő sorozatára rendre elképzeljük a fenti ,,vetítést'', jól látjuk, hogy a számegyenes rendre egyre messzebb szókellő pontjainak megfelőiről van szó. Attól függően, hogy a körön melytik irányból közelítek az északi pólus felé, az számegyenesen is a megfelelő irányba szökell egyre távolbabb ,,az árnyék'': a dolog mindkét irányba működik.
Tekinthetjük az északi pólust egy furcsa végtelenfogalom megjelenésének: a számegyenes mindkét itrányába ,,végigkenődő'', végtelen távoli pontjának. Mivel a nullával való osztáshoz ,,eredményéhez'' sem lehet előjelet rendelni, védhető a két fogalom közti szoros kapcsolat keresése.
