utility#96
Különben semmi különös nincs ebben. Ugyan ez már Hawking képzetes idejéből is kijönne.
És az egész a matematika szempontjából csak ennyi: negatív szám gyöke.
Hogy tisztább legyen a kép, idézek újra:
Korábban már említettem, hogy lényeges különbség van aközött, ahogyan a relativitáselmélet (a speciális és az általános elmélet egyaránt) egyenletei a teret és az idõt kezelik. Az idõ ugyanis negatív elõjellel jelenik meg az egyenletekben. Ezzel azonban még nincs vége a történetnek, mert az egyenletekben - akárcsak a derékszögû háromszögekrõl szóló híres Pitagorasz-tételben - egyes mennyiségek négyzete is elõfordul. Ennek megfelelõen a térbeli elmozdulást jelentõ paraméterek az Einstein-egyenletekben a négyzeten szerepelnek: x2, y2 és z2. Az idõbeli távolságot jellemzõ paraméter viszont egy negatív elõjelû négyzetszám lesz: -t2. Ez akadályozza meg, hogy az idõt pontosan ugyanúgy kezeljük, mint a teret, hiszen már az iskolában megtanultuk, negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni. Ha ismerjük x2 értékét, akkor x-et könnyûszerrel ki tudjuk számítani, tudjuk például, hogy 4 négyzetgyöke 2. Hiába ismerjük azonban -t2 értékét, ez semmit sem jelent t értékére vonatkozóan. Mennyi lenne például mínusz 9 négyzetgyöke?
Hawking kimutatta, hogy a világ története kezdetét jelentõ szingularitás - az idõ „pereme” - problémája egy csaknem magától értetõdõ matematikai eszköz segítségével megoldható. A matematikusok mindent tudnak a negatív számok négyzetgyökérõl. Ez már több mint 200 éve szerves része a matematikának, a matematikusok egyetlen, apró trükk segítségével tetszés szerinti mûveleteket tudnak végrehajtani ezekkel a számokkal. Kitaláltak ugyanis egy i-vel jelölt „számot”, amelyet „négyzetgyök mínusz egy”-ként definiáltak. Ennek értelmében tehát i * i = -1. Ha ezek után például (-9) négyzetgyökére vagyunk kíváncsiak, akkor, figyelembe véve, hogy -9 = (-l)-9, azt mondhatjuk, hogy (-9) négyzetgyöke -1 és 9 négyzetgyökei szorzatával lesz egyenlõ, azaz egyszerûen i * 3. Ezek az úgynevezett „képzetes (vagy imaginárius) számok” ugyanúgy kezelhetõk, mint a közönséges számok, tehát összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók és így tovább, ezért sok matematikai számításban nagyon fontos szerepet játszanak. Eszközt adnak a matematikusok kezébe a leírhatatlan leírásához, a negatív számok négyzetgyökeinek világában való mozgáshoz, miközben ugyanúgy mûködnek, mint a „valós” számok.
Hawking szemtelen ötlete értelmében az idõrõl alkotott hétköznapi képünk helytelen, a Világegyetem mûködésének jobb modelljét kapjuk, ha méréseinkben az általa képzetes idõnek nevezett (i * t-vel azaz it-vel jelölt) mennyiséget használjuk. Ami a matematikát illeti, a változtatás triviális. Az egésznek nem nagyobb a jelentõsége, mint amikor a térképkészítõ áttér a Föld ábrázolásában egy másik vetületi rendszerre. A Mercator-féle vetület például nagyban-egészében a kontinensek helyes alakját mutatja, azonban eltorzítja egymáshoz képesti méretüket. Ezzel szemben az 1970-es években kidolgozott, Peter-féle vetületben a kontinensek arányos méretûek egymáshoz képest, alakjuk azonban eltorzul. Mindkét vetületi rendszer (akárcsak a térképészetben használt többi) a földgömb egész felületét egy sík lapra vetítve ábrázolja. Minthogy azonban lehetetlen a gömb felületének pontjait tökéletesen levetíteni a síkra, ezért egyik vetületi rendszer sem nevezhetõ „helyesnek”, miközben a többit „helytelennek” tartanánk. Egyszerûen csak különböznek egymástól.