The butterfly-effect, avagy a pillangó-hatás
-
Zsoldos #87 Nem irok le mindent konkretan, az elejet csak konyhanyelven,kicsit hosszura nyulna.
A konyhanyelves resz:
Szoval ha egy differencialhato fuggvenyt(ez a folytonos fuggvenyek egy reszet kepezi, nem mindegyik) derivalsz egy pontban, megkapod a pontba huzott erintot. Ha mindegyik pontban elvegzed, igy egy fuggvenyt kapsz, a derivalt fuggvenyt.
Kell egy segedtetel, a lagrange tetele. A lenyeg, ha van egy folytonos derivalhato fuggvenyed, veszel 2 alappontot, a 2 pont kozott letezni fog egy olyan pont, amiben a fuggveny erintoje parhuzamos a ket pont koze huzott szakasszal. (eleg egyszeru belegondolni is)
keplettel: f(b)-f(a)/b-a = f'(u) , u eleme a,b, ez atirhato f(b)-f(a)=f'(u)*(a-b) alakba
Egy f fuggvenynek van primitiv fuggvenye, ha letezik egy olyan F diffhato fuggveny, amit derivalva f-et kapjuk.
A konkret resz:
[a,b] intervallum egy felosztasa az {x0, x1, ...., xn} , ha x0=a, xn=b es xi<xi+1 i=0, n-1. Tehat felosztod az intervallumodat pontokra.
Egy t1 felosztas finomitasa t2 felosztasnak, ha t2 reszhalmaza t1-nek (tehat lenyegeben tartalmazza ugyanazokat a pontokat, es hozzaveszel meg pontot)
Fogjunk egy korlatos f fuggvenyt az [a, b] intervallumon. Definialhatjuk egy t[a,b]={x0 .. xn} felosztashoz tartozo also kozelitoosszeget: s(f, t)=szumma( inf(f(x))*(xi+1-xi), ahol x-re igaz, hogy xi<=x<=xi+1) Az inf az infinum, az egyszerusites kedveert vehetunk minimumot is. Ez cikormanyosan leirva a felosztashoz tartozo kis teglalapokat jeloli, amik a fuggveny alatt helyezkednek el. (a felosztas egy kis miniintervallumaban a minimumot veszed, hogy ne logjanak fole a teglalapjaid.)
A felso kozelitoosszeg ugyanez supremummal (maximummal), akkor olyan teglalapokat kapsz, amik 'bekebelezik' a fuggvenyt.
Ekkor bebizonyithato, hogy s(f, t1)<=s(f, t2) , ha t2 a t1 finomitasa, ez az amirol lent is irtunk. A felso kozelito osszegrol pedig az elobbi mintajara ez: S(f, t2)>=S(f, t1), ha t2 a t1 finomitasa.
Hasonloan konnyen lathato, hogy s(f, t1)<=S(f, t2) barmilyen t1, t2 felosztasokra.
Tehat latjuk, ha finomodo t felosztasokat veszunk s(f, t) monoton no, viszont s(f, t1)<=S(f, t2) tetszoleges felosztasokra) Tehat talaltunk egy felso korlatot: letezni fog a supremuma Is, (ill a felso osszegnek az infinuma IS)!
Egy fuggveny integralhato, ha Is=IS.
Pl x={x, ha x racionalis, es 0, ha x irracionalis} fuggveny nem invertalhato, nem egyezik meg IS, Is.
Latszik, ha integralhato a fuggveny <-> S(f, t)-s(f, t)<{tetszoleges pozitiv szam} egy vegtelenul finomodo felosztassorozatra (a felosztas finomsaga a max(xi+1-xi), tehat a leghosszabb kis reszintervalluma, ezt mindig tudjuk csokkenteni) Ezt nevezik oszcillacios osszegnek.
Persze az integralast nem a definicioja alapjan vegzik, a legelterjedtebb a newton leibniz tetel hasznalata:
f fuggveny integralhato [a,b]-n, es letezik primitiv fuggvenye (F), akkor integral a-tol b-ig F(b)-F(a)=integral a-tol b-ig f.
Hogy ez miert egyenlo az integrallal (a minuszok az indexeles reszei):
t felosztasa [a,b] -nek : a=x0<x1<....<xn=b
F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)={F(xn)-F(xn-1)}+{F(xn-1)-F(xn-2)} + .... F(x1) - F(x0))
(mint latod a ket(3:) oldal egyezik, amiket hozzaadtunk le is vontuk.
Ennek az ertelme az volt, hogy alkalmazhatjuk a fenti lagrange tetelt.
(F derivalhato es folytonos, igy alkalmazhatjuk)
Mindegyik osszeget atirjuk igy ez egyenlo F'(un)(xn-xn-1)+...+F'(u1)(x1-x0)
F'=f, tehat szumma f(ui)(xi- xi-1). Ismeros a forma? Ez a szam nagyobbegyenlo az also kozelitoosszegnel, es kisebbegyenlo a felso kozelitoosszegnel (a felosztas adott, az ui<=supremum, infinum<=ui)
Tehat mivel a fuggvenyunk integralhato volt, fenti 2 ertek megegyezik, igy a kozbezart ertek is egyenlo lesz veluk.
Na, ezert igy szamitjak az integralt, ezert nem kell vegtelen felosztasokkal szamolni. Ha talalunk egy primitiv fuggvenyt, az egesz pofonegyszeruve valik