Neumann János, Nikola Tesla, Albert Einstein
-
neyoo #1076 Mindenkinek jogaban all megismerni a kutatasok eredmenyeit. Eleg volt az 50 evnyi terelesbol.
Lassuk honnan ered a foton "uj" egyenlete?
Sokan kérdezhetik, mi a foton és a Z bozon egyenletének az eredete?
https://en.wikipedia.org/wiki/Weinberg_angle
A valós egyenletet itt található. 18.oldal
https://www.nikhef.nl/~ivov/HiggsLectureNote.pdf
A cikk leírja a folyamatot, hogyan lehet eljutni ehhez az egyenlethez, de sok matematikai részletről nem beszél. Akkor lássuk a részleteket.
A 15.oldaltól indul a kérdéses rész. Van egy isospin doublet, ami a Higgs mező. Ennek a várható értéke nemnulla az alábbi vektorra.
fi0 = [0][v+h] /sqrt(2) / A mező töltése I3=-1/2 Y=+1 /
Ez egy fontos szerepet kap a 17.oldalon a mező Lagrangianjának egyenletében.
Ami ilyen formájú.
D=G + igTW/2 + ihYB/2
T=sigma matrix https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices
g coupling constant of W field / csatolási állandó /
h=g' coupling constant of B field
D=covariant derivative https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative
G= gradient of field https://en.wikipedia.org/wiki/Four-gradient
Első kérdés: miért alkalmazzuk a Pauli mátrixot? Nos a mező weak isospinje -1/2 tehát a Higg "isospinileg" fermion.
A matek. Adott a kiindulási egyenlet, ahol a Higgs-mező csatolódik a két mértékmezőhöz.
Dfi=[G + igTW/2 + ihYB/2] 1/sqrt(2) [0][v+h]
A W a weak isospin, aminek olyan komponensei vannak, mint a spinnek, /spinwave?/ SU(2) és a B mező a gyenge hypercharge. U(1)y Az y annyit mutat, hogy ez nem az elektromágnesesség, hanem a hypercharge.
...............
Dfi=[G + igTW/2 + ihYB/2] 1/sqrt(2) [0][v+h]
A következő lépés, hogy "kibontjuk" az egyenletet. Először beszorozzuk a mátrixokkal.
A [0][v] az az állapot vektor, ahol a mező nemzéró értékű.
Dfi= 1/sqrt(2) [igTW/2 + ihYB/2] [0][v]
Dfi= i/sqrt(8) [gTW + hYB] [0][v]
Dfi= i/sqrt(8) [g([0,W1] + [0,-iW2] + [ W3,0]) + h[YB,0]] [0]
[ ([W1,0] + [ iW2,0] + [0,-W3]) + h[0,YB]] [v]
Dfi= i/sqrt(8) [[gW3 +hYB,g(W1-iW2)]] [0]
[[g(W1+iW2),-gW3+ hYB]] [v]
Dfi= iv/sqrt(8) [g(W1-iW2)]
[-gW3+ hYB]
Dfi[t]Dfi= v^2/8 [g^2(W1^2+iW2^2) + (-gW3+ hYB)^2 ]
Az eredeti egyenlet fele eltünik a zéró miatt. De ami marad az is bőven elég lesz ma délutánra.
Mivel a kérdés a Z és a foton, ezért a "valós" gerjesztéseket leíró egyenletnek is csak a második felét használom tovább.
Ebből feírjuk azt az mátrixok, aminek a sajátvektora lesz a két részecske.
(-gW +hYB)^2 =
h=g'
[ W3 g*g , B -g*hY ]
[ W3 -g*hY , B h*h ]
mivel Y=1 a Higgsmezőre, marad
[ W3 g*g , B -g*h ]
[ W3 -g*h , B h*h ]
avagy mátrix / vektor alakvan
[ g*g , -g*h ] [W3]
[ -g*h , h*h ] [B]
Ennek a mátrixnak először megkeressük a sajátértékeit. Alap matek.
https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors
eigenvalue (A-IL)v=0
[ g*g -L , -g*h ]
[ -g*h , h*h -L]
Ehhez egy olyan L értéket kell találni, amivek a fenti mátrix determinánsa zéró lesz.
determinant =0
[a,b]
[c,d] = ad - bc =0
(g*g -L) * (h*h -L) - (-g*h) * (-g*h) =0
g*g*h*h -L*h*h -g*g*L +L*L - g*g*h*h =0
-L*h*h -g*g*L +L*L =0
-L*(h*h+g*g) +L*L =0
Ez egy közönséges másodfokú egyenlet, szóval
a=1
b=-(h*h+g*g)
c=0
L=(-b+-sqrt(b^2 - 4ac)) /2a
L= ((h*h+g*g) +-sqrt((h*h+g*g)*(h*h+g*g))) /2
L1= ((h*h+g*g) -(h*h+g*g)) /2= 0
L2= ((h*h+g*g) +(h*h+g*g)) /2= 2*(h*h + g*g) /2 = h*h + g*g
És meg is kaptuk a cikkben szereplő sajátértékeket.
...............
A következő lépés az első sajátértékhez tartozó sajátvektor megkeresése. Az alap egyenletek ezek.
(A-IL)v=0
Av=Lv
Az utóbbiból felírhatjuk a keresett [v1][v2] sajátvektor mátrix alakját.
[ g*g ,-g*h ] [v1] =L[v1]
[ -g*h, h*h ] [v2] L[v2]
Az első sajátérték volt a foton mezőhöz tartozó
L1=0
[ v1*g*g ,-v2*g*h ] =0[v1]
[ -v1*g*h , v2*h*h ] 0[v2]
v1*g*g -v2*g*h =0
-v1*g*h + v2*h*h =0
innen csak az első sor kell a mátrixból
v1 =v2*h/g
ha v1=1 nek vesszük, akkor -> v2=g/h
Ellenőrzés Av=Lv
1*g*g -g*g*h/h =0*1
-1*g*h + g*h*h/h =0*g/h PF=pont fsza
A vektort átskálázva h-val meg is kapjuk a cikkben szereplő értéket. Igazából ez majd normalizálva lesz egy sqrt(g^2 + h^2) faktorral, ahogy a QM-ben illik.
eigenvector of L1
[v1] = [1] = [h]
[v2] [g/h] [g]
[v1][W][B]= (hW + gB)
[v2]
normalization
(hW + gB) / sqrt(g^2 + h^2) = A photon
................
Jöhet a Z gyenge bozon-mező sajátértéke
L2=(h*h + g*g)
ismét Av=Lv
[ g*g , -g*h ] [v1] =L2[v1]
[ -g*h , h*h ] [v2] L2[v2]
[ v1*g*g ,-v2*g*h ] =(h*h + g*g)[v1]
[ -v1*g*h , v2*h*h ] (h*h + g*g)[v2]
v1*g*g - v2*g*h =(h*h + g*g)v1
-v1*g*h + v2*h*h =(h*h + g*g)v2
legyen v1=1
g*g - v2*g*h =h*h + g*g
-v2*g*h =h*h
v2 =-h*h/(g*h)
v2 =-h/g
Visszaellenőrzés Av=Lv
1*g*g + h*g*h/g = (h*h + g*g)*1
-1*g*h - h*h*h/g =-(h*h + g*g)*h/g
g*g + h*h = h*h + g*g
-g*g*h - g*h*h*h/g =-h*h*h - g*g*h OK
eigenvector of L2
[v1] = [1] = [g]
[v2] [-h/g] [-h]
[v1][W][B]= ((gW -hB)
[v2]
normalization / normalizáció
(gW - hB) / sqrt(g^2 + h^2) = Z boson
............
Szóval az egész folyamat leírható a mátrixoknál már megszokott módon. Sajátvektorral.
De mi ez a sajátvektor?
What is an Eigenvector?
https://www.youtube.com/watch?v=ue3yoeZvt8E
Aha, hogy az az irány , amit a transzformáció maximum átskáláz, de békén hagy. Ez a skálafaktor a sajátérték.
De hiszen az Av = Lv egyenlet pont ezt mondja. Csak meg kellene tanulni olvasni benne.
https://hu.wikipedia.org/wiki/Saj%C3%A1tvektor_%C3%A9s_saj%C3%A1t%C3%A9rt%C3%A9k