rubik kocka
-
#110
A kocka variációs lehetőségeinek száma (8! × 38−1) × (12! × 212−1)/2 = 43 252 003 274 489 856 000 vagy másképp: 4,3×1019 (azaz kimondva: negyvenháromtrillió-kétszázötvenkétbilliárd-hárombillió-kétszázhetvennégymiliárd-négyszáznyolcvankilencmillió-nyolcszázötvenhatezer).
Ha az ember minden másodpercben fordít egyet a kockán, és ezt a nap 24 órájában csinálja, akkor (feltéve, hogy nem jut olyan álláshoz, amit már egyszer kipróbált) 1 371 512 026 715 évre van szüksége az összes lehetséges állás kipróbálásához.
Amennyiben nem hagyományos kockával játszunk, hanem olyannal, amelyeknek a középkockáin is olyan jelölés van, ami egyféle végleges helyzetet garantál (szuper 3x3x3 Rubik kocka), akkor a variációk száma megszorzandó 462 = 2048-cal.
A kocka rendezése mint csoportelméleti probléma [szerkesztés]
Az alábbiak csak a 3×3×3-as kockára vonatkoznak, noha a gondolatmenet általánosítható magasabb oldalelemszámra is.
Első lépésként vegyük észre, hogy ha gondolatban rögzítjük a középső, összetartó elemet, akkor a forgatások révén csak a sarkok és az oldalélek változtatják a pozíciójukat, a középső elem nem mozdul el, csak forog.
Ezután tegyük föl, hogy a kocka minden egyes különböző állapotát megszámozzuk egyenként 1 től 43 252 003 274 489 856 000-ig. A számokból halmazt alkotunk, amely a kocka lehetséges pozícióinak a halmazát jelöli.
Jelöljünk minden 90°-os forgatást – a gondolatban a középső elem rögzítésével állandósított helyzetű kocka mellett – annak az oldalnak a kezdőbetűjével, amelyik oldalt elforgatjuk úgy, hogy kikötjük még azt is, hogy a forgatás csak a kocka középpontjából kifelé mutató tengely körül az óramutató járásának megfelelően történhet (a balkéz felemelt nagyujja a tengely irányába mutat, a behajlított ujjak a lehetséges forgás irányába; ez az ú. n. balkéz-szabály). Ekkor észrevehetjük, hogy csak hatféle különbözö forgatás létezik.
* a – az alsó lapot forgatjuk el
* f – a fölső lapot forgatjuk el
* e – a elülső lapot forgatjuk el
* h – a hátulsó lapot forgatjuk el
* b – a baloldali lapot forgatjuk el
* j – a jobboldali lapot forgatjuk el
A kocka minden forgatása (nem csak ez a hat) transzformáció. A forgatásokat függvényekként képzelhetjük el, amelyek a kockák állapothalmazán vannak értelmezve, és ugyanebbe a halmazba képeznek, a hozzárendelés szabálya pedig az, hogy az adott függvény értéke a megfelelő forgatás végrehajtásával kapott új kockapozíció sorszáma. Például: f(64 523) = 578 526 687.
A forgatások egymásutánját a megfelelő betűk egymásutánjaként jelölhetjük, és a szorzás művelet analógiájára használjuk. Pl. azt, hogy „először kétszer a jobboldali lapot forgatom el, majd a fölsőt, végül a hátulsót” úgy jelölhetjük, hogy jjfh, vagy j·j·f·h, azaz j2fh. Ha 1-gyel jelöljük azt, hogy semmilyen forgatást nem végzünk, akkor észrevehetjük, hogy aaaa = a·a·a·a = a4 = 1, ffff = f·f·f·f = f4 = 1, stb. Persze az 1 is transzformáció, csak éppen minden pozíciót helybenhagy: 1(1)=1, 1(2)=2, ... , 1(43 252 003 274 489 856 000) = 43 252 003 274 489 856 000. Így már értelmezhetjük az óramutatóval szemben történő forgatást is, amely megfelel három darab óramutató járásával megegyező forgatás egymásutánjának. Tehát például aaa = a3 egy ilyen forgatás, amit az előzek értelmében a 1/a-nak vagy a-1-nak is jelölhetünk, hiszen az 1/a · a = 1 képlet azt írja le, hogy a kocka fölső lapjának a középpontból kifelé mutató tengely körüli 90°-os óramutató forgásának irányával szemben, majd azzal megegyezően történő elforgatása a kocka elrendezését nem változatja meg. Sőt azt is mondhatjuk, hogy a0 = 1, f0 = 1 stb., vagyis 0-szor elvégezve a valamelyik forgatási műveletet nem változik meg a kocka.
Képezzünk az összes lehetséges forgatásból egy halmazt, amit jelöljünk A-val! Ha még ezen a halmazon a szorzással jelölt egymás után elvégzés műveletét is értelmezzük (ami másként a forgatási függvények kompozíciója), akkor egy csoportot kapunk jele: (A, · ). Megállapíthatjuk, hogy ezen halmaz véges elemszámú (azaz véges sok különböző forgatás képzelhető el), tehát a csoport véges elemszámú, ugyanis végtelen sok különböző forgatás végtelen sokféleképpen tudná a kockát elrendezni, de a 9x6 lapocska mindegyike legfeljebb 6 színt vehet fel, tehát a kocka biztosan kevesebb állapottal rendelkezik, mint 366, vagyis beláttuk, hogy csak véges sok különböző forgatás képzelhető el.
Az (A, · ) csoport neutrális eleme az 1.
Azt is észrevehetjük, hogy minden elem az a, az f, az e, a h, a b és/vagy a j valamilyen egymásutáni végrehajtásából áll. Ilyenkor azt mondjuk, hogy az {a, f, e, h, b, j} halmaz generálja az (A, · ) csoportot.
A kocka rendezése tehát matematikai alakban a következőképpen formulázható: adott a rendezett kocka, melyet valaki összekever a forgatások egy bizonyos x sorozatával, azaz például x(1) = 456 358 966 568, ahol x = afj3f2...bef2hj. A kocka rendezésére vállalkozónak az a feladata, hogy x ismeretének hiányában olyan y forgatást találjon, amely rendezi a kockát, azaz y(456 358 966 568) = 1. Ebből látható, hogy x · y = 1, azaz y = x-1, tehát a cél egy x-et invertáló transzformáció megtalálása – persze minél rövidebb idő alatt.
Minden forgatás inverze megkapható a forgatás fordított irányú végrehajtásával, azaz például – az előbbiek szerint – a inverze a-1 = a3, mivel a·a-1 = a · a3 = a4 = 1. Bonyolultabb forgatásoknál az egyes elemeket invertáljuk, és fordított sorrendbe hajtjuk végre, azaz például (afj3f2...bef2hj)-1 = j -1h -1f -2e -1b -1...f -2j -3f -1a -1, ahol f -2 = f 2 és j -3 = j, mint az egyszerű szorzással ellenőrizhető.
A kocka rendezése során arra törekszünk, hogy átmozgassunk bizonyos kiskockákat máshová, vagy maradjon a helyén, de kerüljön más pozícióba, például egy sarokelem forduljon el 120°-kal, vagy egy élelem forduljon meg, miközben minden más változatlan marad.
Belátható, hogy nem minden ilyen áhított mozgatás valósítható meg, mert például egy kívánt sarokelem elfordulása csak úgy érhető el, ha valamelyik másik sarokelem is elfordul közben, tehát csak egyszerre két sarokelemet tudunk elforgatni. Sőt itt a forgatás iránya sem mindegy, mert nem mindig azonos óramutatóirányban forognak a sarokelemek.
Találhatóak azonban olyan forgatások, amelyek csak éleket mozgatnak, és olyanok is, amelyek csak sarkokat. (Ez annak a következménye, hogy élelem nem kerülhet csúcselem helyére és viszont. Úgy is mondhatjuk, hogy a 3×3×3-as kocka csúcselemeinek mozgásai megegyeznek egy 2×2×2-es kocka csúcselemeinek mozgásaival, márpedig az utóbbinál nincsenek élelemek.)
A kocka rendezése tehát az alábbiakra egyszerűsödik:
* rendezzük el az élelemeket a rendezett kockának megfelelően, előbb a helyzetüket a 1., majd a színűket a 2. forgatás ismétlésével helyesen beállítva, ezután
* rendezzük el a sarokelemeket a rendezett kockának megfelelően, előbb csak a helyzetüket az 3., azután a színeket helyesen beállítva a 4. forgatást ismételve!
Ezek a forgatások azonban viszonylag sok mozdulatot igényelnek, tehát csak lassan tudunk a rendezéssel haladni. A kockaforgató bajnokok olyan kombinációkat tartanak fejben, amelyek egyszerre több élet és/vagy sarkot mozgatnak az általuk kívánt pozícióba, s így nagyobb összpontosítás árán fel tudják gyorsítani a rendezés folyamatát.
az egy oldli búvös kocka kirakásához az a cél, hogy különbzö formákat pat kell kiraknunk mint például a plussz jel. utánna próbáljuk a hagyományos forgatásokat alkalmazni hogy kettő fordítással egy kockát a helyére forgatunk...
ilyen egyszerű az egész :)