Matematika feladatok
-
#944
szorzatuk 880.
mi is a primtényezős felbontása?
880 2
440 2
220 2
110 2
55 5
11 1
az összegük 26, pozitív egészek, tehát minden szám 1 és 26 közé esik, sőtt.
mivel viszonylag kis számokról van szó, égyrészt fel lehetne írni az összeset, másrészt lehet próbálkozni is.
vagy tovább gondolkodni.
én ezt teszem most.
a 11-et 5-el nem lehet szorozni, csak 2-vel, (maximum egyszer, mert különben 26 fölé megyünk) az 22.
tudunk nagyobb számot kreálni 26 alatt?
nem.
akkor tegyük fel, hogy a 22 tagja (méghozzá a legnagyobb tagja) a sorozatnak. a maradék: 2,2,2,5. ezekből kell 3 számot csinálni.
a lehetőségek:
2,2*2,5. azaz 2,4,5,22, ami nem számtani sorozat.
2,2,2*5. nem jó. több nincs. tehát nem sikerült olyan sorozatot csinálni, aminek a 22 a tagja.
akkor mi a következő generálható szám? a 20 (5*2*2).
ekkor marad 2, 2, 11. ekkor a sorozat tagjai: 2, 2, 11, 20. ez nem számtani, tehát a 20 nem tagja a sorozatnak.
a következő? 2*2*2*2=16. marad az 5, ami nem három tag.
mi lehet még? (16 alatt.) a 11. akkor marad 2,2,2,2,5. ebből kell 3 szám (11 alatt).
pl 2, 5, 2*2*2, azaz 2,5,8,11. ez pl jónak tünik, mert számtani. az összeg? 26. akkor ez jó!!!
van más 2,2,2,2,5-ből? igen: 2,4,10, ami nem jó.
más ugyanezekből (még mindig 11 alatt?) nincs.
tovább nem kell mennünk lefelé, mert akkor a 11 kimarad. (mivel primszám, pozitív egészek szorzataként csak egyféleképpen (1*11) írható fel.)
...
hoppácska. az egyről megfeletkeztünk!!!
mármint az 1, mint a sorozat eleme szóbajöhet, mert a primtényezős felbontásban benne van és bár a szorzatot nem módosítja, az összeget igen, tehát a lehetőségét meg kell vizsgálnunk.
akkor nézzük tovább...
az előbb feltettük, hogy az egy nem tagja a sorozatnak.
de ha mégis, akkor tegyük fel, hogy tagja.
ekkor a másik két páratlan primtényező (5 és 11) közül az egyik köteles megszorozva lenni egy páros számmal.
ugyanis három páratlan szám összege páratlan,
két páros meg egy páratlan, az páratlan,
két páratlan meg egy páros, az pedig páros. nekünk ez utóbbi kell, mivel az 1 az páratlan, tehát még pontosan egy páratlan kell mellé, hogy az összeg páros (26) legyen.
tehát az 1 mellett, vagy a 11, vagy az 5 szerepel a sorozatban.
tegyük fel, hogy az 1 és az 5 szerepel. ekkor mivel 11-ből párosat kell csinálni, ezért megszorozzuk 2-vel. ekkor 1,5,8,22 összege nem 26. (2*2=4-el megszorozva túl vagyunk a 26-on)
akkor tegyük fel, hogy az egy és a 11 szerepel.
ekkor az 5-öt legalább egyszer meg kell szorozni 2-vel, tehát vagy a 10, vagy a 20 szerepel a sorozat tagjai között.
a 20 nem szerepelhet, mert 20+11+1 már rég több mint 26.
akkor szerepelhet az 1, a 10. a 11 ésmég?
maradt tehát 2,2,2, miből egy számot kell csinálnunk. eze a 2*2*2=8.
így a sorozat az 1,8,10,11 lenne, ami nem nyerő.
mivel (azt)hiszem, hogy minden lehetőséget végigvettünk, így kijelentem, hogy a sorozat tagjai csakis a 2, 5, 8, 11 lehetnek.
vagy elqrt@m valahol?