Matematika feladatok
-
#412
A felső kör a legelő, az alsó kör a kecske "vadászterülete".
Az 1. és a 3. képlet OK.
A 2. képletet viszont én sem nagyon értem, csak azt látom, hogy a legelő területét akarja 7evenb kiszámolni.
És persze hiányzik az R(r) fgv is.
Na akkor:
A legelő fele: r^2*Pi/2
Lelegelt terület: 2*alpha nyílású R sugarú körcikk + 2*beta nyílású r sugarú körszelet = alpha*R^2 + (r^2*2*beta - 2*r^2*sin(beta)) = alpha*R^2 + 2*r^2*(beta - 2*sin(beta))
Ez a kettő egyenlő kell legyen.
A 3. képlet a háromszög belső szögeinek összegéből adódik: Pi - 2*alpha
Ezt behelyettesítve:
2.a)
r^2*Pi/2 = alpha*R^2 + 2*r^2*(Pi - 2*alpha - 2*sin(Pi - 2*alpha))
r^2*Pi/2 = alpha*R^2 + 2*r^2*(Pi - 2*alpha - 2*sin(2*alpha))
r^2*Pi/2 - 2*r^2*(Pi - 2*alpha - 2*sin(2*alpha)) = alpha*R^2
2*r^2*(Pi/4 - (Pi - 2*alpha - 2*sin(2*alpha))) = alpha*R^2
2*r^2*(-3*Pi/4 + 2*alpha + 2*sin(2*alpha))) = alpha*R^2
2*r^2*(-3*Pi/4 + 2*alpha + 2*sin(2*alpha))) = alpha*R^2
Az 1. képlet átalakítva:
1.a)
R = 2*r*cos(alpha)
R = 2*r*sqrt(1 - sin^2(alpha))
R^2 = 4*r^2*(1 - sin^2(alpha))
R^2/(4*r^2) = 1 - sin^2(alpha)
sin^2(alpha) = 1 - R^2/(4*r^2)
sin(alpha) = sqrt(1 - R^2/(4*r^2)) (itt biztos pozitív, mert 0<alpha<Pi/2)
Egy másik átalakítás
1.b)
R/(2*r) = cos(alpha)
Mivel sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x), így
sin(2*alpha) = 2*sqrt(1 - R^2/(4*r^2))*R/(2*r)
Ezt behelyettesítve 2.a)-ba
2.b)
2*r^2*(-3*Pi/4 + 2*alpha + 4*sqrt(1 - R^2/(4*r^2))*R/(2*r)) = alpha*R^2
És ebből nem tudom eltüntetni alphát, max így:
1.c)
arccos(R/(2*r*)) = alpha, de ez rajtunk csak ennyit segít:
2.c)
2*r^2*(-3*Pi/4 + 2*arccos(R/(2*r)) + 4*sqrt(1 - R^2/(4*r^2))*R/(2*r)) = arccos(R/(2*r))*R^2
Na ebből aki kifejezi az R-et az r függvényében, annak gratulálok.
(Persze lehet, hogy valahol még el is számoltam valamit...)