Matematika feladatok
-
Pio #3397 Boccs, teljesen elfelejtettem, hogy betetted a képet, remélem még nem késő.
Első:
Mind a 3 képlet a (2+1)^n felírása a binomiális tétel alapján.
Az első a felsorolós alak, a második a summa-s alak, a harmadik pedig szimplán összeadja a 2+1-et.
![]()
-------------
Második:
Az egyenlet mindkét oldalán van 1+, tehát elhagyható.
A summáknak ugyan annyi tagja van és minden tag szorozva van x^i-vel, tehát az kiemelhető, oszthatunk vele (x nem= 0 kikötés mellett) elhagyható.
Gyorsan nézzük, ha x=0, akkor mi a helyzet. A summa összes tagja 0 lesz, tehát 1=1, ami jó.
Tehát annyi maradt a kérdés, hogy a summában maradtakkal mi a helyzet:
(n alatt i) × i
EGYENLŐ-E
(n-1 alatt i-1)×n
Ez viszont elég egyszerűen belátható faktoriális alakból.
Első:
Számláló: n! × i
Nevező: i!×(n-i)!
i-vel egyszerűsítek:
Számláló: n!
Nevező: (i-1)!×(n-i)!
Második:
Számláló: (n-1)! × n
Nevező: (i-1)!×(n-1-(i-i))!
Számlálót egyszerűbb alakra hozom, nevező második tagját kiszámolom:
Számláló: n!
Nevező: (i-1)!×(n-i)!
Tehát egyenlőek.
