Matematika feladatok
-
7evenb #2414 Akkor beszéljünk a számok nyelvén, nem tételezünk fel semmit a pénzről, és szeretnénk megnézni, hogy milyen valószínűséggel lesz fej és milyen valószínűséggel lesz írás.
Kiindulásképpen:
-----------------
Jelölje p a fej valószínűségét, és ekkor nyilván 1-p az írásé (a priori)
Annak a valószínűsége, hogy n húzásból k darab fej lesz:
p(X=k)=(n alatt k)*p^k*(1-p)^k
vagyis binomiális eloszlást követ a fejek száma n húzásból (lásd wikipedia).
Becslés:
--------------
tegyük fel, hogy z fejet dobtunk eddig Z próbálkozásból. Kérdés, hogy vajon az a hipotézis, hogy r valószínűséggel dobunk fejet megállja-e a helyét? (h0:p=r)
A megoldáshoz visszafelé kell gondolkodni, és megnézni, hogy amennyiben a p=r feltételezésünk helyes, akkor milyen valószínűséggel dobunk z fejet Z próbálkozásból
P(X=z)=(Z alatt z)*r^z*(1-r)^z
Ha a kapott valószínűség túl alacsony, akkor elvetjük a nullhipotézist, ha megfelel nekünk akkor elfogadjuk.
A statisztikusok kicsit másképp közelítik a problémát, annyiban, hogy az elfogadási küszöböt nem a sűrűségfüggvényen értelmezik, hanem az eloszlásfüggvényen. Ebben az esetben kétoldalú próbával.
Azaz:
Ha alfa valószínűséggel engedjük meg a tévedést, akkor a
sum(k=0..N) P(X=k) = sum(k=0..N) (Z alatt k)*r^k*(1-r)^k
összefüggésre olyan N értéket keresünk amire az eredmény éppen alfa/2 lesz (kétoldalú próba, a binomiális eloszlás sűrűségfüggvénye szimmetrikus)
Ekkor azt mondjuk szakszerűen, hogy 1-alfa konfindencia szint mellett (ugyanis ennyire vagyunk biztosak a helyességben) ha z<N, vagy 2*Z*r-N<z akkor azt a hipotézist, hogy r valószínűséggel dobunk írást (a priori) a pénzen elvetjük.
----------------
Ugyan ezt kell megcsinálni a lottónál. Ha igazolni tudod egy neked megfelelő konfidencia szinten, hogy a lottón adott számok magasabb, mások alacsonyabb valószínűséggel jönnek ki, akkor feltehetően (alfa hibával) hamarosan gazdag leszel:)
Félreértés ne essék!, ha a lottóról eleve azt feltételezed, hogy az a priori valószínűség eloszlás egyenletes, és azt látod, hogy valamelyik számot kevesebbszer húzták mint a többit, akkor az érvényes amit eddig mondtunk: az a posteriori valószínűség semmit nem befolyásol az a priori valószínűségen!
OFF
"úristen, hát perszehogy ha feltételezem, h az érme..."
Kicsit szerényebben! Nem azért mert olyanokkal beszélsz akik zöme matematikus, illetve ezen a területen mozog, hanem mert te kérdeztél és neked szeretnénk segíteni!
ON