Matematika feladatok
-
#1101
:) miféle számoló az, ami 17 éves és ilyeneket lehet bele írogatni? Még teszek egy ajánlatot a végén a megvételére - merthogy gyűjtöm őket... :)
Nos én effélékre gondoltam - lelövök párat, hátha jönnek még szebb megoldások :P
0.) A feladat:
Melyik az a szám, ami önmagára hatványozva még nem okoz tulcsordulást a számológépemen?
Tegyük fel, hogy a legnagyobb ábrázolható szám 10^100, ekkor a feladat:
x^x = 10^100
1.) Az intervallum:
Ha x=10, akkor x^x= 10^10, ami kevés, ha x=100, akkor x^x = 100^100 = (10^100)^2, ami igen sok, így biztosan állíthatjuk, hogy 10<x<100.
2.) Első Numerikus Próba - Intervallum-felezés:
Mivel a gyök a fenti intervallumba esik és x^x monoton nő így egy gyököt keresünk 10 és 100 között. Ezért lehet egyszerően felezgetni azt az intervallumot, amibe a gyök esik. Az első lépésben adódó x=55 kevés, de a második lépés 77.5-e sok, így ez nem vezet eredményre (mivel 77.5^77.5 nem számolható)
3.) Logaritmálás után:
Az egyenletet egyszer logaritmálva x*LOG(x)=100 egyenlet már használhatónak tűnik. Sőt:
4.) Második numerikus próba - Iteráció:
A fenti egyenlet x(i+1)=100/LOG(x(i)) alakban alkalmas egy próbára, hátha konvergálni fog. x(0)=10-ről indulva rendre a következő értékeket kapjuk:
x(1)=100
x(2)= 50
x(3)= 58.8592
x(4)= 56.5031
x(5)= 57.0753
x(6)= 56.9331
x(7)= 56.9682
x(8)= 56.9595
x(9)= 56.9617
x(10)= 56.9611
x(11)= 56.9613
x(12)= 56.9612
stb... De ez működik!
5.) Újra logaritmálva:
LOG(x)+LOG(LOG(x)) = 2 egyenletet kapjuk, ami, ha bevezetjük az a=LOG(x) jelölést a+LOG(a)=2 alakú, azaz annak felel meg, hogy a 2-a egyenes hol metszi a LOG(a) függvényt. Mivel a LOG() fv csak pozitiv a-kra van értelmezve, ezért nem sokat tudtunk meg az intervallumról (eddig is tudtuk, h 1<a<2). De segít, ha tudjuk, h a LOG(a) a=2 körüli Taylor sora (2*LN(2)-2+a)/(2*LN(10)), azaz az
(2*LN(2)-2+a)/(2*LN(10)) = 2-a egyenletet kell megoldani, ahonnan könnyedén megkapjuk az a=1.7527 értéket, azaz x=10^a=56.58, ami nem is rossz beletrafálás a valódi gyökbe. Ha a=1 körül írjuk fel a Taylor sort, az eléggé pontatlan a=1.6972 (x=49.80) értéket kapjuk, ami jelzi, h az a=1 eléggé alul becsüli a gyököt, míg az a=2 közelebb van. (Konyhanyelven :P)
6. Grafikusan:
Persze lehet a 2-a = LOG(a) egyenlet két oldalát ábrázolni az a=1.6...1.8 intervallum fölött, ahonnan vérmérséklettől függően egész jó közelítéseket lehet kapni az a értékére. A módszer fontos érdeme, hogy azonnal szolgáltat egy viszonylag szűk intervallumot a gyökre.
7. Indiana Jones-osan:
Elő a pisztolyt és tűz, amikor az egyiptomi csávesz a retkes nagy szablyát a képedbe tolja: HP32SII zsebszámológép SOLVER-e nem egészen 2-3 másodperc alatt kitolja a gyököt 12 jegyre.
Várom a további ötleteket!!!! :P :D