Cat#49
Poincaré azt a kérdést tette fel, hogy a kétdimenziós térre vonatkozó egyenletek átalakíthatók-e úgy, hogy a háromdimenziós térre érvényesek legyenek. Valószínűnek tartotta, hogy igen, de bizonyítani nem tudta. A hatvanas évektől kezdve a matematikusok minden további dimenzióra átalakították az egyenleteket (a négydimenziós tér leírását Michael Freedman készítette el 1982-ben), de egyik eljárás sem működött három dimenzióban. A probléma hírhedtté vált arról, hogy több tucatnyi olyan megoldása született, mely később hamisnak bizonyult.
Perelman eredményei ráadásul túlmutatnak a Poincaré-problémán, erőfeszítései elsősorban a Thurston-féle geometrizációs sejtés bizonyítására irányulnak. A hetvenes évek elején William P. Thurston professzor felvetette, hogy a három dimenziós terek felfoghatók sok homogén darab együtteseként, melyek csak egy bizonyos módon állíthatók össze. Thurston számos esetre bizonyította a felvetést, amiért megkapta a Fields-érmet, a legmagasabb matematikai kitüntetést. A sejtés teljes bizonyításával egyúttal megoldódna a Poincaré-probléma is, mely annak egy alesete.
Perelman egy átlagoló eljárást használt, melyet Richard Hamilton dolgozott ki. Hamilton a módszerrel számos esetre bizonyította a geometrizációs sejtést, de egyes eseteknél problémákba ütközött. Perelman Hamilton munkáját egészítette ki, így ha a bizonyítás helyes, valószínűleg osztozni fognak a Clay Intézet díján.